Zweiter Abschnitt. Differentiation von Funktionen einer Variablen. 81 
41) y = \ sinh 2x — y = sinh 2 #. 
42) y = l cosh #; y = tgh x. 
43) y = l sinh #; y = cotgh x. 
44) y = l cosh x — \ tgh 2 #; y = tgh 3 x. 
§ 4. Allgemeine Sätze über den Zusammenhang einer 
Funktion mit ihrem Differentialquotienten. 
36. Vorzeichen des Differentialquotienten. Von 
einer in dem Intervall (cq ß) der stetigen Variablen x eindeutig 
definierten Funktion f{x) sagt man, sie sei an der Stelle x 
innerhalb des Intervalls wachsend, wenn sich eine positive Zahl 
rj so angeben läßt, daß für jedes 0 <fh <Crj 
(1) fix — h) < f(x) < f(x + h). 
Besitzt die Funktion an der Stelle x einen Differentialquotienten 
so kann derselbe nicht negativ sein; denn aus (1) folgt 
f\x — h) — f{x) ^ f{x + h) — fix) ^ A 
— h ^ ’ h 
mit gegen Null konvergierendem h nähern sich die beiden 
Quotienten nach Voraussetzung einer gemeinsamen Grenze und 
diese kann nicht negativ sein, weil die Quotienten, wie klein 
auch h werden mag, positiv bleiben. 
Die Funktion fix) heißt hingegen an der Stelle x ab 
nehmend, wenn sich ein positives r\ so angeben läßt, daß für 
alle 0 < h < 7] 
(2) fix — h) > f(x) > fix + h). 
In diesem Falle kann der Differentialquotient an der Stelle x, 
wenn er existiert, nicht positiv sein; denn aus (2) ergibt 
sich, daß 
f(x — h) — fix) ^ n fix + h) — fix) ^ A 
— h ^ ’ h ^ u > 
und da beide Quotienten für lim h = 0 gegen eine gemein 
same Grenze konvergieren, so kann diese nicht positiv sein, 
weil die Quotienten selbst, wie klein auch h werden mag, 
negativ bleiben. 
An den Stellen a, ß kann nur von einseitigem Wachsen 
oder Abnehmen die Rede sein. 
Czuber, Vorlesungen. I, 3, Auil. 
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