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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Aus diesen Betrachtungen ergibt sich der Satz: Wenn die 
Funktion f{x) in dem Intervall (a, ß) beständig wächst oder be 
ständig abnimmt und an jeder Stelle einen Differentialquotienten 
besitzt, so kann dieser niemals negativ, beziehungsweise niemals 
positiv sein. 
In beiden Fällen ist also nicht ausgeschlossen, daß der 
Differentialquotient an einzelnen Stellen Null werden kann. 
Unter den elementaren Funktionen haben wir folgende 
Beispiele beständig wachsender und beständig abnehmender 
Funktionen. 
Es ist Da x =a x la, folglich a x eine beständig wachsende 
Funktion, wenn a > 1, eine abnehmende, wenn 0 < a < 1 ist; 
e® ist also wachsend 
l 
Aus Dlx =— erkennt man, 
daß l x eine 
% n 
2~ ’ 2 
, da x > 0, 
wachsende Funktion ist. 
Da Dtgx = sec^x, so ist igx eine wachsende Funktion; 
in der Tat, indem x nacheinander die Intervalle 
~) durchläuft, jedoch mit Ausschluß der Grenzen, geht 
tg x beidemal durch das Intervall (—00,+ 00). 
In gleicher Weise schließt man aus D cotg x = — cosec 2 x, 
daß cotg# eine beständig abnehmende Funktion ist. 
so wächst arctgrr fortwährend; 
Weil I) arc tg x = „ . „ 
ö 1 -)- aff 
tatsächlich durchläuft es das Intervall (——, +vr)> während x 
von 
— 00 bis + 00 wächst. 
Aus D arc cotg x = 
1 + aff 
schließt man in ähnlicher 
Weise auf die ständige Abnahme von arc cotg x. 
37. D er Satz von Rolle. Wenn die Funktion f{x) in 
dem Intervalle (a, ß) einwertig und stetig ist und an jeder Stelle 
einen endlichen oder bestimmt unendlichen Differentialquotienten 
besitzt, wenn ferner f[cc) = 0 und f(ß) = 0, so gibt es wenig 
stens eine Stelle zwischen a und ß, an welcher der Differential 
quotient fix) verschwindet. 
Behielte die Funktion den Wert Null im ganzen Intervalle 
(oder auch nur in einem Teile desselben) bei, so wäre sie eine