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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Die Funktion f(x) = (x — a) (x — b) hat, um Beispiele 
anzuführen, in dem Intervall (a, b) die Eigenschaften, welche 
oben vorausgesetzt wurden; ihr Differentialquotient f'{x) 
— 2x — a — b wird denn auch gleich Null au der zwischen 
a, b liegenden Stelle x = - y— • Desgleichen entspricht die 
Funktion fix) — sin x in dem Intervall (0, n) den Voraus 
setzungen des Roll eschen Theorems, und in der Tat ver 
schwindet ihr Differentialquotient fix) = cosir an der zwischen 
liegenden Stelle x = y • 
38. Der Mittelwertsatz. Wenn die Funktion fix) an 
jeder Stelle des abgeschlossenen Intervalls (a, ß) einen endlichen 
oder bestimmt unendlichen Differentialquotienten besitzt, so gibt 
es wenigstens eine Stelle zwischen a und ß 7 an welcher der 
Differentialquotient f\x) gleich ist dem Differenzenquotienten 
m-m 
ß — a 
Dieser Satz, für die Analysis von großer Bedeutung, findet 
sich zuerst bei J. Lagrange und wird auch häufig nach ihm 
benannt. 
Zum Zwecke des Beweises konstruieren wir mit Hilfe von 
fix) die neue Funktion 
<P i x ) = f\ x ) - fi a ) ~ ( x ~ «) /( ^~l (a) » 
welche ebenfalls an jeder Stelle zwischen a und ß einen Diffe- 
rentialquotieuten besitzt, da 
= f\ x ) 
m-m 
ß — cc ’ 
und die überdies die Eigenschaft hat, daß <p(a) = 0 und 
(p(ß) = 0 ist. Demnach erfüllt die Funktion cp(x) die Voraus 
setzungen des Roll eschen Satzes und es gibt daher wenigstens 
eine Stelle | zwischen a und ß, wo qp'(£) = 0, d. h. wo 
(1) 
fiß) ~ f(d) _ f 'ft\ 
ß — cc 1 w 
Der Satz kann nun auf irgend zwei Stellen x und x + h, 
die in (a, ß) enthalten sind, zur Anwendung gebracht werden; 
an die Stelle von £ kommt dann ein zwischen x und x -f- h