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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
haben, so können sie sich nur um eine additive Konstante von 
einander unterscheiden. 
Denn aus 
folgt aucli 
und daraus 
fix) = <00) 
D[f{x) - cp(x)] = 0 
f{x) — (fix) = G, 
wobei G eine Konstante bedeutet. 
In Artikel 36 ist gezeigt worden, daß der Diflferential- 
quotient einer in dem Intervall (a, ß) beständig wachsenden 
(abnehmenden) Funktion niemals negativ (positiv) ist; auch 
die Umkehrung dieses Satzes kann jetzt bewiesen werden: 
Wenn der Differentialquotient von f(x) in dem Intervall (a, ß) 
niemals negativ (positiv) und auch nicht in einem Teile des 
Intervalls beständig Null ist, so ist die Funktion ivachsend (ab 
nehmend) in dem Sinne, daß für irgend zivei Werte x t , x 2 aus 
(cc, ß), welche ivachsend geordnet sind, die Relation f{xf) < f{xf) 
(J{xj) > f{x 2 i) stattfndet. 
Bedeutet x einen Wert zwischen x x und x 2 , so daß x x , 
x, x 2 wachsend geordnet sind, so ist auf Grund der (ersten) 
Voraussetzung laut (1) 
/’0*0 “ f( x i) = i x - x i)f'(&) ^ o 
fix a ) - fix) = (x 2 - x) /■'(£*') > 0, 
wobei einen Wert zwischen x x , x , | 2 einen Wert zwischen 
x, x 2 bedeutet; daraus folgt, daß 
fi x i) £fi x ) 
aber nicht für alle x' können beide Gleichheitszeichen gelten, 
weil sonst für alle Werte x zwischen x x und x 2 die Beziehung 
fixf) = fix)=fixf) stattfände, die zur Folge hätte, daß in 
diesem Teile von (a, ß) f'(x) beständig Null wäre, was gegen 
die Voraussetzung verstößt. Es gibt also sicher einen Wert x, 
für den wenigstens eines der beiden Ungleichheitszeichen gilt, 
und darum ist notwendig 
fM < fM- 
Der zweite Teil des Beweises ist ebenso zu führen.