Zweiter Abschnitt. Differentiation von Funktionen einer Yariablen. 87 
39. Der verallgemeinerte Mittelwertsatz. Wenn die 
leiden Funktionen f{x), cp(x) in dem Intervalle (a, ß) Differential 
quotienten besitzen, von welchen der letztere, cp'(x), an keiner 
Stelle Null ist, so gibt es mindestens einen Wert £ zwischen a 
und ß derart, daß ~ = A® • Dieser Satz kommt zu- 
erst bei Cauchy*) vor, wenn auch mit der speziellen Voraus 
setzung, daß f{a) = cp (a) = 0 sei. 
Um ihn zu beweisen, konstruiere man aus f{x) und cp(x) 
die neue Funktion 
^0) = f\ x ) - /■(«) - (yC») - 9>(«)) 5 
der Brucb, welcher im Ausdrucke dieser Funktion verkommt, 
hat sicher eine bestimmte Bedeutung, da cp{a) nicht gleich 
sein kann cp(ß), indem sonst nach dem Satze von Rolle cp'(x) 
an einer Stelle zwischen a und ß verschwinden müßte, ent 
gegen der Voraussetzung. Die Funktion iß{x) hat nun im 
Intervall (cc, ß) einen Differentialquotienten, nämlich 
und es ist iß{cc) = 0, i>(ß) = 0; folglich existiert nach dem 
Satze von Rolle mindestens eine Stelle £ zwischen a und ß, 
wo cp' (£) = 0, d. h. wo 
m m-m rm 
^ ' <P(ß) — <P(a) 9>'(l) 
Die Formel kann wieder auf zwei beliebige Stellen x und 
x + h aus (cc, ß) angewandt werden und lautet dann: 
(2) 
fix -f h) — f{x) fjx + dh) _ ( 0 - i x 
(p{x-\-h) — qp ix) + ^ ^ ^ ' 
Setzt man cp(x) = x, wodurch den Voraussetzungen des 
Theorems Genüge geleistet ist, so gehen die Formeln (1) und 
(2) in die gleichbezeichneten des Art, 38 über. 
§ 5. Die höheren Differentialquotienten und Differentiale. 
40. Begriff des M-ten Differentialquotienten. Wenn 
die in dem Intervall \a, ß) stetige Funktion f(x) an allen 
Stellen des Intervalles einen Differentialquotienten besitzt, so 
*) Leçons sur le calcul différentiel, Paris 1829, p. 33.