Zweiter Abschnitt. Differentiation von Funktionen einer Variablen. 91 
itialquotienten 
bt sich durch 
ändert sich 
tor a n hinzu- 
dt dem Diffe- 
diziert werden 
(ax + b) m ~ n . 
er mte Diffe- 
alle kann die 
fortgesetzt 
somit 
ist m = — 1 
werden, daß 
d es wird 
bar 
4) Die Formel D sin x = cos x = sin (x -f y) zeigt, daß 
die einmalige Differentiation des sin x der Vermehrung des 
Arguments um äquivalent ist; infolgedessen wird w-malige 
Differentiation einer Vermehrung des Arguments um n~ äqui 
valent sein; es ist also 
(7) D n sin x = sin (x + n y) • 
Durch denselben Schluß ergibt sich aus D cos x = — sin x 
= cos (x + y) : 
(8) D 11 cos x = cos (x + w y) ' 
Vermöge der Periodizität nehmen die rechten Seiten der 
Formeln (7) und (8) nur je vier verschiedene Werte an, näm 
lich die n = 0, 1, 2, 3 entsprechenden, und diese in zyklischer 
Wiederholung. 
II. Zerlegung in Teile. Hat man f(x) als Summe zweier 
oder mehrerer Funktionen dargestellt, etwa f(x) = q) (x) + ip (x), 
so ist (24, (1)) 
D n f(x) = I) n cp[x) -f B n ip{x). 
J ) Es ist + mithin 
— A + hx r l + i*”(o — 
auf die Ausdrücke der rechten Seite ist die Formel (2) an 
wendbar, und man findet 
(») 7r äVp 
(— l) w 1 • 2 • • • n • V' 
2 a 
Ja + hxf 
i + 
(-1)* 
(a — hx) 
n + 1 
Für a = 1 und h = i ergibt sich hieraus 
D n 
(— V) n 1 • 2 ■ • • n 
1 -f- x 1 
2 i 
_{x — i) n + l (a? + 9” + 1 _ 
Diese Formel kann dazu verwendet werden, den allgemeinen 
Differentialquotienten von arc tg x zu bestimmen; da nämlich 
D arctg£ = — 1 —- so ist JD n arc tsx = D n ~ 1 —.p—5, also auf 
0 1 -f- iC 27 ö 1 -f- x 2} 
Grund der letzten Formel: 
(10) 
B n arc tg x = 
(— l) w—1 1 • 2 •. .(n —1) 
U 
1 
1 
(x — i) n {x -|- i) n