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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Punkt eine den Bereich P durchsetzende Kurve KL. Da y 
dabei eine Funktion von x ist, so erscheint z = f(x, y) bei 
dieser Auffassung als Funktion von x allein, und ist es eine 
stetige Funktion von x (17), so beschreibt der Punkt x/yjz oder 
F eine Kurve im Baume; wir wollen dann sagen, z = f(x, y) 
sei längs der Kurve KL stetig. 
Ist z = fix, y) an jeder Stelle des Bereiches P eindeutig 
definiert, längs jeder ihn durchsetzenden Kurve stetig, so heißt 
fix, y) eine im Bereiche P stetige Funldion. 
Von den Eigenschaften einer solchen Punktion heben wir 
die folgende hervor. 
Wenn die Funldion fix, y) in dem Bereiche P stetig ist, 
so läßt sich an jeder Stelle x/y innerhalb des Bereichs zu einem 
beliebig Mein festgesetzten positiven e ein hinreichend Meines posi 
tives p bestimmen derart, daß für jede von x/y verschiedene Wert 
verbindung xjy , für tveiche | x — x [ <77 und \ y—y | < rj, 
(1) \f(x',y')-f(x,y)\<£- 
In der geometrischen Darstellung hat dieser Satz die Be 
deutung, daß zu dem Punkte M(x/y) als Mittelpunkt eine 
Umgehung ccßyö in Form eines Quadrates von einer so kleinen 
Seite 2rj sich konstruieren läßt, derart, daß der zu einem be 
liebigen Punkte M' dieser Umgebung gehörige Funktionswert 
sich von dem zu M gehörigen dem Betrage nach um weniger 
als e unterscheidet. 
Die Richtigkeit des Satzes geht aus der Definition der 
Stetigkeit im Bereiche P hervor. Auf jeder durch M geführten 
Geraden läßt sich zu jeder Seite von M ein Grenzpunkt, 
M x zur einen, Jf 2 zur anderen, angeben, derart, daß für jeden 
zwischen M lf M 2 auf dieser Geraden liegenden Punkt die Be 
ziehung (1) gilt (17 (1)). Denkt man sich dies für alle Geraden 
durch M ausgeführt, so wird es unter den Grenzpunkten einen 
geben, welcher M am nächsten liegt, und dieser bestimmt die 
verlangte Umgebung*). 
Man bezeichnet die in dem Satze ausgesprochene Eigen 
schaft als Stetigkeit der Funktion f(x, y) an der Stelle xjy; 
*) Man lege durch diesen Punkt einen Kreis vom Zentrum M und 
schreibe diesem ein nach den Achsen orientiertes Quadrat ein.