Dritter Abschnitt. Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen. 109 
ichtung X, bzw, 
Haiquotienten in 
beide Variablen 
rentialquotienten 
sgehenden Halb- 
) fassen wir in 
sprechen kurz 
itung S“ und 
sie durch die 
o und ip, welche 
chtungen M(X) 
;hließt. Der auf 
unktJfj gehöre 
mg x -f hjy 4-Je, 
QM ± — Je ist; 
nf M(S) positiv 
-f- Je gehörigen 
erung von z an 
en Alz, so daß 
I 
und läßt sich 
k) — f{x, V) 
-I-k) — f{x,y) k 
k As 
3, nach Mf, so 
die Quotienten 
wie nahe auch 
4) angegebenen 
Ile Differential- 
hm (A+hl+J^AAl+A _ y + li)t 
h=± 0 
lim + = £'(*, y) - %; 
* = ±0 
wenn endlich der erste dieser Differentialquotienten eine stetige 
Funktion von y ist, so hat man weiter 
Hm lim + *■» + *>- f(x ' y + *’ - /.'(», y) - 
i = ±0i = i0 11 
dz 
dx 
Az 
Man hätte den Zähler von —r- auch erweitern können auf 
As 
fix + h, y + Je) — f{x + h, y) + fix + Ji, y) — fix, y), 
und es hätte sich dann bei analog durchgeführter Betrachtung 
die Bedingung ergeben, daß f r eine stetige Funktion von x 
sein müsse, damit bei lim Je = 0 und lim Ji = 0 der Quotient 
f{x -)- Ji, y -f- Je) — f{x -f- ti, y) 
gegen die Grenze f y \x, y) konvergiere. 
Bei stetigem beiderseitigen Grenzübergange von x -\-Jijy -fJe 
zu xjy in der Richtung S, wobei die Größen h, Je, Als gleich 
zeitig der Null als Grenze sich nähern, konvergiert also der 
Quotient (6) gegen den Grenzwert 
dz dz .dz 
= COS 0D + ö— COS -tb, 
3* ^ dy ’ 
ds dx 
wenn an der Stelle xjy entweder ff eine stetige Funktion von 
y oder f y r eine stetige Funktion von x ist*). Man nennt dann 
diesen Grenzwert den totalen Differentialquotienten der Funktion 
fix, y) oder ihren Differentialquotienten in der Dichtung S. 
Für die Richtung MfX) 
<P = o, 
fallen die Begriffe - n — und ^ 0 
ds 
dx : 
<P 
Tt 
“V ’ 
für die Richtung Jf(V) 
ifj — 0 
dz , dz 
j: und zusammen. 
ds dy 
*) Beides ist erfüllt, -wenn f x , f y stetige Funktionen von x, y sind.