Dritter Abschnitt. Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen. 115 
■spiele dienen, 
sines Rechtecks 
kleinen Größen 
t 
lehren darüber, 
diesem Ansätze 
he das Volumen 
x und der Höhe 
um die kleinen 
somit ist das 
dy 4- 2nxdxdy 
r, 
id ndx 2 dy, Be 
beziehungsweise 
tiwer, die beiden 
hne Seite x und 
Beträge dx, dy, 
hende Änderung 
du x sin y sin z 2 u 
dx~~ sin (2/ -f- x ’ 
du x 2 cos y sin z x 2 sin y sin z cos (y -j- z) 
dy ~~ 2 sin (y -(- z) 2 sin 2 {y z) 
= U cotg y — U cotg (;y -f- 8), 
du ¿C 2 sin y cos z x*sin y sin z cos (y z) 
dz 2 sin {y 4" z) 2 sin 2 (;y 4- z) 
= u cotg z — U cotg (y 4- 8)] 
also ist du = u F— + {cotg y — cotg (y 4- 8)} dy 
L 
+ {cotg 0 — cotg (y 4- z)} dz\^. 
Es sei beispielsweise 
x = 500 m, y = \|(30°), (45°), 
dx = 0,01m, dy = xvo,5" =0,00002424, dz = arc 10"= 0,00004848; 
mit diesen Daten berechnet sich zunächst 
u = 45 753,17 m 2 
und weiter 
du = 45 753,17 [0,0000400 4- 0,0000354 -f 0,0000354] = 5,07 m 2 ; 
die direkte Rechnung der Fläche mit den geänderten Daten liefert 
u — 45 758,26 m 2 , 
woraus die wirkliche Änderung bei auf zwei Dezimalen an 
gelegter Rechnung u — u = 5,09 m 2 sich ergibt. 
4) Man zeige, daß aus 
VX-VY 
x — y ’ 
worin X = ax 2 + 2hx + c, Y = aif -f 2ly 4- c ist, folgt: 
2 dz dx dy 
a ~ zi ~ yx + yf 
§ 2. Die höheren Differentialquotienten und Differentiale. 
51. Wiederholte Differentiation nach derselben 
Variablen. Wenn die Funktion z = f{x, y) auf dem Gebiete 
P, auf welchem sie gegeben ist, einen partiellen Differential 
quotienten in bezug auf x besitzt, der selbst wieder wie die 
ursprüngliche Funktion auf dem gedachten Gebiete stetig ist 
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