Dritter Abschnitt. Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen. 117 
wir als zweiten partiellen Differentialquotienten in hezug auf x 
und y und schreiben es in einer der Formen fx y {x, y), , 
so daß 
f "( ) _ Vfx&,y) _ d*z 
Txy\ x ) y) dy — dxdy 
Andererseits ist auch der partielle Differentialquotient 
nach y: 
f y \ x , V) = 
cz 
dy’ 
eine Funktion beider Variablen und kann als solche in bezug 
auf x differentiiert werden, wodurch der zweite partielle Diffe 
rentialquotient in hezug auf y und x entsteht: 
(rr d/yfo» y) d t z 
lyx\X, y) - dx - dydx ‘ 
Es ist jetzt unsere Aufgabe, die Beziehung dieser zwei 
zweiten Differentialquotienten, welche sich formell durch die 
Reihenfolge der Operationen unterscheiden, durch die sie aus 
der ursprünglichen Funktion abgeleitet sind, für eine Stelle 
x/y des Gebietes P zu untersuchen. 
Es sei*) 
(p(x) = f( x >y+ *) — №* V) } y,(y) = f( x + h >y) — K x > V). 
Ji 
dann ist 
cp (x -|- h) — cp (x) 
h ~ 
(1) 1 
= Yk {f( x + h > V + lc ) ~ fi x + h > y) - fi x > y + 1c ) + f(*> y) 1 
und 
(2) 
V (y + tc) — q (y) 
k 
= Yk № + h > y + Jc ) —f( x > y + k) — f( x + h, y) + fix, y)}; 
andererseits ist mit Benützung des Mittelwertsatzes (38) 
y( g + h ) ~ <f (®) _ „'(t\ fxdt> y + tc)- £({, y) „ , fc , 
h — V yi) — ja — Txy\s, rjj 
und 
V’iy + tc) — y>{y) 
k 
-_/•»(!, jj). 
*) Vgl. G. Kowaletvski, Die klassischen Probleme der Analysis des 
Unendlichen, Leipzig 1910, p. 272.