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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Daraus folgt im Zusammenhalte mit (1) und (2), daß 
( 3 ) fx'y{%,n)=fyx{ l,v), 
Dabei bedeuten £, | Werte aus dem Intervall (x, x + h), g 
und 7j Werte aus dem Intervall fy, y -f- k)] ferner ist die Vor 
aussetzung gemacht, daß f xy und f yx in der durch h, Ti gekenn 
zeichneten Umgebung von x/y existieren. Sind sie überdies 
stetig an dieser Stelle, so ergibt sich aus (3) durch den Grenz 
übergang lim h = 0, lim h = 0: 
( 4 ) fxyipc, y) = fyx{x, y), 
in anderer Schreibweise: 
(A*\ P* = ö* 2 . 
' ' dxdy dydx 
In zusammenfassender Wiederholung des eben Yorgeführten 
kann also der Satz ausgesprochen werden; 
Besitzt die Funktion z = fix, y) an der Stelle x/y und in 
einer gewissen, übrigens beliebig engen Umgebung dieser Stelle 
die Differentialquotienten ~, ^ l , ^ * -, und sind die 
beiden letztgenannten stetig an der genannten Stelle, so ist 
daselbst 
d i z _ d 2 z 
dxdy dxdy 
Erfüllt die Funktion fix, y) in ihrem ganzen Gebiete die 
angeführten Bedingungen, so findet diese Beziehung an jeder 
Stelle statt. Ihr Inhalt läßt sich dahin formulieren, daß das 
Resultat der sukzessiven Differentiation einer Funktion nach zwei 
verschiedenen Variablen von der Reihenfolge, in tvelcher man die 
beiden Differentiationen ausführt, nicht abhängt. 
Diese wichtige Tatsache läßt sich nun auch auf mehr als 
zwei Differentiationen und auch auf mehr als zwei Variable 
ausdehnen. Soll die Funktion z = fix, y) zweimal in bezug 
auf x und einmal in bezug auf y differentiiert werden, so zeigt 
das für die Multiplikation dreier Faktoren gültige Schema 
xxy = x(xy) = x(yx) = (xy) x = {yx)x = yxx, 
in welchem immer nur zwei aufeinanderfolgende Buchstaben 
vertauscht worden sind, daß es gleichgültig ist, ob man die 
Differentiation in der Ordnung xxy oder xyx oder yxx