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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
(5) 
dx 
+ 
dr 
d cp 
- r 
sin 
9 
, cos qp 
dcp ^ 
dy 
+ 
dr . 
d cp 
r 
cos 
sm qp 
dcp T 
d' 2 x 
O dr 
+ 
cPr 
d qp 2 
- r 
cos 
cp 
a <p 
sin 
9? 
d qp 2 
cos qp 
II 
1 
- r 
sin 
cp 
+ 
2 är 
d cp 
cos 
<P 
+ 
d 2 r 
d qp 2 
sin cp 
Es drücken sich dann beispielsweise ^ 7 in den neuen 
dr 
Koordinaten, wenn man von den Abkürzungen ( j (f) =r ') 
<Pr 
dcp 2 
r" Gebrauch macht, wie folgt aus: 
r cos cp -f- r sin qp 
äy 
dx 
d*y 
dx 2 
— r sin qp -|- r cos qp 
r 2 -J- 2t' 2 — rr" 
(— r sin qp -(- r COS qp) 8 
II. Bedeuten wieder x, y die Koordinaten eines Punktes 
M der Ebene in bezug auf ein (rechtwinkliges) Koordinaten 
system, u = x 1} v = y x die Koordinaten eines anderen Punktes 
M l derselben Ebene in bezug auf dasselbe Koordinatensystem, 
so vermitteln die Gleichungen (1*) oder 
K= V) 
Wi = V) 
den Übergang von M zu M x , die inversen Gleichungen (1) oder 
(6*) 
p = vfa, yf) 
\y = Vi) 
den Übergang von M x zu M, und beide bestimmen eine Trans 
formation der Ebene in sich. Die Ebene erscheint nun als 
Trägerin zweier Punktsysteme S und S 1} die Gleichungen (6) 
ordnen jedem Punkte aus S einen und nur einen Punkt aus S x , 
umgekehrt die Gleichungen (6*) jedem Punkte aus S x einen 
und nur einen Punkt aus S zu; aus diesem Grunde wird die 
Transformation auch eine ein-eindeutige Punkttransformation ge 
nannt. Weil wir von den Funktionen cp ly tp, cp, cp voraus 
setzen, daß sie stetig sind und bestimmte Differentialquotienten 
besitzen, so werden hinreichend kleinen Änderungen von x, y