Dritter Abschnitt. Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen. 155 
Die Führung der Rechnung im Falle von mehr als zwei 
unabhängigen Variablen und ihre Ausdehnung auf höhere Dif 
ferentialquotienten bedarf keiner weiteren Erklärung. 
67. Beispiele. 1) Für eine beliebige Funktion z von 
x, y ist der Ausdruck 
der Transformation 
x = r cos cp 
y = r sin cp 
zu unterwerfen (64, I). 
Die Gleichungen (12) lauten im vorliegenden Falle: 
dz 
dz _ 
dz 
dq> 
— r Sin cp g— 
dz _ 
dz 
dr 
cos VTx 
+ r cos cp 
dy 
+ 
dz 
sin cp -Q— ; 
' dy ’ 
quadriert man sie, nachdem man die erste durch r dividiert 
hat, und bildet hierauf ihre Summe, so ergibt sich: 
mithin ist 
r 2 \d(p) ' \drj [dxj ' \dy) ’ 
2) Es sei V eine beliebige Funktion der unabhängigen 
Variablen x, y, z; man soll die mit Hilfe derselben gebildeten 
Ausdrücke: 
A 2 V = 
d 2 V 
dx 2 
d^v dfv 
+ dy 2 + dz 2 
einer homogenen linearen Transformation (64, II) 
! x = a 1 x 1 -f- \y t -f- c l z 1 
y = a 2 x t + b a y t + c 2 z 1 
z = a 3 x 1 -f b 3 y 1 + c 3 z 1 
unterwerfen von solcher Art, daß durch sie x 2 -)- y 2 -j- z 2 über 
geführt wird in x 2 -f- y 2 + z 2 . 
Eine lineare Transformation von dieser Beschaffenheit 
wird, ohne Rücksicht auf die Anzahl der Variablen, eine ortho 
gonale Transformation genannt. Sie bedeutet bei zwei und