Dritter Abschnitt. Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen. 161 
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die inverse Transformation ist durch 
'23*) 
r = | Yx 2 + y 2 + z 2 
y 
cp = arc tg — 
6 
arc cos 
Vx-^y^ + Z-; 
bestimmt, wobei die Eindeutigkeit der zweiten Gleichung da 
durch herbeigeführt wird, daß man festsetzt, cp sei derjenige 
Bogen aus dem Intervalle (0, 2ri), dessen Sinus das Vorzeichen 
von y und dessen Kosinus das Vorzeichen von x hat. 
In diesem Falle lauten die Gleichungen (21), nachdem 
bereits jene (22) berücksichtigt worden sind, wie folgt: 
0 = r sin 6 sin cp -f- — sin 6 cos cp^j 5 
4- (r sin 6 cos cp -f- sin 0 sin cpj 
er 
r sin 0 -f Yß cos 0 = (r COS 6 COS cp + Yß sin 6 cos cp^j 
de 
dr 
und daraus ergibt sich: 
+ COS 6 sin cp + sin 6 sin cpj 
cs 
1 X 
dz 
dy 
d_z 
dx 
dz 
dy 
es 
dx 
cs 
dy 
9 • *0 T () V () V () T 
r-sm0cosqp -j-t— sin0sinop—r-^ Ä cos0cosqp — . cos0 sinqp 
. off cd dy cd * 
r-HuxO sin (f 
» er. 
r~ cos 0 4- r sin 0 
Cu 
dr . . dr . . . drdr 
r —■ sm 0 cos gp — r Q Q cos 0 sin cp —j— ^ cos 0 cos qp 
dy 
dd 
dy dd 
r 3 cos 0 -f- r sin 0 
Cu 
Auf die zweiten Ableitungen soll nicht weiter eingegangen 
werden. 
II. Läßt man wieder x, y, z die Koordinaten eines 
Punktes M im Raume in bezug auf ein (rechtwinkliges) Koor 
dinatensystem, u = x 1} v — y 1} w — z x aber die Koordinaten 
eines anderen Punktes M t in bezug auf dasselbe Koordinaten 
system vorstellen, so bestimmen die Gleichungen (20) und ihre 
inversen, d. i. 
| x 1 =( Pl {x, y, z) 
( 24 ) Vi = ^i(«, y, *) 
' V, *) 
Czuber; Vorlesungen. I. 3. Anfl. 11