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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
trachtung der anderen Reihen auf sie zurückleitet. Zunächst 
sollen Sätze allgemeiner Natur vorgeführt werden. 
1) Eine Heike mit durchwegs positiven Gliedern ist ent 
weder konvergent, oder divergent mit dem Grenzwert + oo. 
Denn die Partialsummen s 0 , s x , s 2 , . . . einer solchen Reihe 
bilden eine steigende Folge von Zahlen, bei welcher nur 
zweierlei eintreten kann: entweder bleiben alle Glieder unter 
einer festen positiven Zahl und nähern sich dann notwendig 
mit beständig wachsendem Zeiger einer bestimmten Grenze, 
welche jener Zahl höchstens gleichkommt — die Reihe ist 
dann konvergent; oder sie werden schließlich größer als jede 
beliebige positive Zahl — die Reihe hat dann den Grenz 
wert -f- oo. 
Hieraus folgt, daß die Konvergenz einer Reihe mit posi 
tiven Gliedern erwiesen ist, sobald es gelingt zu zeigen, daß s n 
für jedes n unter einer Zahl Ä verbleibt; unter dieser Zahl 
bleibt dann auch die Summe beliebig vieler aus der Reihe 
herausgegrilfener Glieder. 
2) Ist eine Reihe mit durchwegs positiven Gliedern konver 
gent, so bleibt sie es auch, wenn man die Glieder anders anordnet, 
und behalt dabei denselben Grenzwert. 
Würde sich die Änderung der Anordnung blos auf einen 
endlichen Abschnitt der Reihe beziehen, so genügte zum Be 
weise des Satzes der Hinweis darauf, daß die über den Ab 
schnitt hinausgehenden Partialsummen durch die Umordnung 
nicht berührt werden. Die Umordnung soll sich aber auf die 
Reihe in ihrem ganzen Verlaufe erstrecken, d. h. ist 
(10) a 0 + a x + a 2 -f- • • • 
die ursprüngliche und 
(11) Uc 0 + a ax + a 0i + • • ■ 
die transformierte Reihe, so soll zwischen den Zeigern v und 
a v eine ein-eindeutige Beziehung solcher Art bestehen, daß mit 
v zugleich auch a v über jeden Betrag wächst; dann enthält die 
Reihe (11) alle Glieder von (10) und nur diese. 
Bezeichnet s den Grenzwert von (10), so ist jede Partial 
summe von (11) kleiner als s, weil sie aus Gliedern von (10) 
besteht; demnach ist (11) tatsächlich konvergent.