Vierter Abschnitt. Reihen. 
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Der Beweis des zweiten Teiles ist einfach zu führen; aus 
den Relationen: 
— ^1, 
OL 
*« +1 
l n + 2 
schließt man auf 
a n< a n+i^ a n+2< a n+s<'- ■, 
folglich nehmen die Glieder yon a n an nicht mehr ab und 
kann daher lim a r für v = -f- oo nicht Null sein (70, 1)). 
a v , j 
Es mag bemerkt werden, daß die Beziehung <1 für 
V 
v ^ n zur Konvergenz nicht ausreicht, wie das Beispiel der 
harmonischen Reihe erweist, wo ----- = —~-r tatsächlich be- 
’ a v »-fl 
ständig < 1 ist, während die Reihe doch divergiert; es läßt 
sich eben keine unter 1 liegende Zahl angeben, unter der alle 
1 + 1 gelegen sind. 
a r ° ° 
Aus dem obigen Satze fließt der nachstehende als Folge 
rung: Ist lim ■ n + x = X, so ist a r konvergent, wenn X < 1, 
und divergent, wenn X > 1; im Falle, daß X = 1, kann keine 
Entscheidung getroffen iverden. 
Denn ist X < 1 und schaltet man zwischen X und 1 den 
echten Bruch k ein, so läßt sich notwendig ein Wert n des 
Zeigers bestimmen, von welchem an fortab - v *' 1 - < k. Und ist 
a v 
X > 1, so muß notwendig ein n sich angeben lassen derart, 
a v , x 
daß > 1 ist für v > n. 
a v 
Das vorstehende Kriterium, von Cauchy, dem Begründer 
der allgemeinen Reihentheorie, stammend, kommt bei Beur 
teilung von Reihen am häufigsten zur Anwendung. 
In der Reihe 
wo a > 0, -ist 
1 -f- — -J- 1 _L 
1 1*2 r i.2 • 3 ' 
7 
1 • 2 • • • n' 
°W i = 
1 ■ 2 • • • (« + 1) ; 
Un-(-1 
a 
n-\-1 
a 
u.