178 
Erster Teil. Differential-Rechnung. 
von welchem angefangen das Produkt v 1+p a y beständig kleiner 
bleibt als ß, so daß 
n 1+p a n < ß 
O + l) 1+ 'a. +1 < ß 
woraus 
(13) 
n :<\ 
+ P 
a ' n + 1< (n + l) 1+i) 
Die mit Ausschluß von x = 0 durchwegs stetige Funktion 
f(x) = — besitzt an jeder Stelle einen Differentialquotien 
ten f(x) = . infolgedessen kann auf sie der Mittelwertsatz 
x 
i + p> 
(38, 2)) angewendet werden und gibt: 
l 1 h 
(0 < 0 < 1); 
px p p(x-\-h) p (x -f- dh)' 
setzt man hierin x = n, h = 1 und beachtet, daß die rechte 
Seite für 0 = 1 ihren kleinsten Wert erreicht, so folgt 
< — — - 
(w-f-l) 1+iJ pn p p{n-{-\) p 
und nach Multiplikation mit ß unter Rücksichtnahme auf (13): 
^n + l < '- ß (pn p 
p (n l) p , 
<ß{ 
<ß{ 
p(n -f- 1)^ 
1 
p(n -f- 2) p , 
1 
n + 3 ^ r \p 2) P p(n -f- 3) p ) 
Bildet man die Summe dieser Ungleichheiten, so entsteht rechts, 
vom Faktor ß abgesehen, eine Reihe von dem Baue der Reihe 
in 69, 2); dieselbe ist konvergent, weil 
= 0, 
und ihr Grenzwert ist „ : mithin ist 
pn p 1 
r < 
pn x