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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
und daraus durch Summierung: 
m 2 m 
(ß) 2 2f4 a^ l < 2 2 a v 
0 X 
Zu beiden Seiten der Relationen (a) und (ß) stehen nun 
Partialsummen der zu vergleichenden Reihen. 
Ist die erste Reihe konvergent, so ist es wegen (/3) auch 
die zweite; und ist die erste divergent, so ist es wegen (a) 
auch die zweite. 
Ist die zweite Reihe konvergent, so ist es wegen (cc) auch 
die erste: und ist die zweite divergent, so ist es wegen (ß) 
auch die erste. 
74. Reihen mit positiven und negativen Gliedern. 
Indem wir uns nun der Betrachtung solcher Reihen zuwenden, 
welche positive und negative Glieder in unbegrenzter Anzahl ent 
halten, knüpfen wir zunächst an die 70, 3) aufgestellte Fol 
gerung an, daß eine konvergente Reihe aus durchwegs positiven 
Gliedern konvergent bleibt, wenn man die Vorzeichen der 
Glieder beliebig verändert. Daraus folgt durch Umkehrung 
die Tatsache, daß eine Reihe mit beliebig bezeichneten Gliedern 
sicher konvergent ist, wenn diese Eigenschaft der aus den 
Absolutwerten ihrer Glieder gebildeten Reihe zukommt. Von 
einer solchen Reihe sagt man, sie sei absolut (unbedingt) kon 
vergent. Die wesentlichen Eigenschaften solcher Reihen drückt 
der folgende Satz aus; 
Der Grenzwert einer absolut konvergenten Reihe aus posi 
tiven und negativen Gliedern in unbeschränkter Anzahl ist gleich 
der Summe der Reihe, die aus den positiven Gliedern gebildet 
wird, vermindert um die Summe der Reihe, welche aus den Ab 
solutwerten der negativen Glieder sich zusammensetzt. Er ist 
unabhängig von der Anordnung der Glieder. 
Sei 
(14) a 0 + a 1 + a 2 H 
die gegebene Reihe, s ihr Grenzwert, s n ihre allgemeine Par 
tialsumme; ferner 
(15) I a o 1 + I a i I + I a 2 1 + • * ■ 
die als konvergent vorausgesetzte Reihe aus den absoluten