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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
den absoluten Werten ihrer Glieder ist; man nennt die Reihe 
dann relativ (bedingt) konvergent. Sie erfüllt die Bedingung 
70 ; (7) und insbesondere ist auch lim a n = 0, die aus den 
n = +00 
Absolutwerten der Glieder gebildete Reihe dagegen hat den 
Grenzwert -j- oo. 
•Während also eine absolut konvergente Reihe schon ver 
möge der Größe ihrer Glieder konvergiert, tritt dies bei einer 
bedingt konvergenten erst durch den Wechsel des Vorzeichens 
ein. Von den bedingt konvergenten Reihen gilt nun der fol 
gende Satz: 
Der Grenzwert einer bedingt konvergenten Beihe ist abhängig 
von der Anordnung der Glieder; man kann ihn durch ent 
sprechende Beihung der Glieder jeder beliebigen Zahl A gleich 
machen. 
Es sei wieder (14) die gegebene Reihe, welche als kon 
vergent vorausgesetzt wird, während die aus ihr abgeleitete 
(15) jetzt divergent ist. Infolgedessen müssen auch beide 
Reihen (16) und (17) divergent sein; denn wäre es nur eine 
von beiden, so würde sich aus der immer noch zu Recht be 
stehenden Beziehung (18) für limw = -f-oo entweder s = -j-oo 
oder 5 = — oo ergeben, je nachdem man (16) oder (17) diver 
gent annähme; beides steht im Widerspruche mit der Voraus 
setzung. 
Welches nun auch die Zahl A ist (die wir zunächst als 
positiv uns denken wollen), so läßt sich die Reihe (16) ver 
möge ihrer Divergenz vom Anfang aus in Gruppen G 0 , G lf 
G% . . . und die Reihe (17) in Gruppen G 0 ', Gj, Gj, . . .*) zer 
legen derart, daß 
G 0 > A, 
während sich die Ungleichheit umkehrte oder in eine Gleichung 
verwandelte, wenn man das letzte Glied der Gruppe G 0 aus 
ließe; daß ferner 
Gr 0 ~ < A, 
während sich die Ungleichheit bei Fortlassung des letzten 
*) Die Buchstaben sollen zugleich die Summen der betreffenden 
Gruppen, die unter Umständen auch eingliedrig sein können, bezeichnen.