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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
nun ist | c n | y n , folglich 2Jy n eine konvergente Majorante 
von 2J \ c n \, in Folge dessen ist auch N | c n ( konvergent, also 
2Jc n tatsächlich absolut konvergent. 
Um ein Beispiel zu geben, betrachten wir die geometrische 
Reihe 
1 + x -f x 2 
die nach den Ausführungen in 69, 1) absolut konvergent ist 
mit dem Grenzwert 1 ~wenn \x \ < 1; unter dieser Voraus 
setzung kann also das Quadrat der Reihe nach der vorstehen 
den Multiplikationsregel gebildet werden, gibt wieder eine ab 
solut konvergente Reihe und • ^ ist ihr Grenzwert. Die 
früheren Gliederzeiger sind nun Exponenten; somit entsteht x n 
auf so viele Arten, als sich n als Summe zweier Zahlen der 
Reihe 0, 1, 2, . . . zusammensetzen läßt, also auf n-\-1 Arten; 
mithin ist 
= 1 + 2x + 3rr 2 + 4;r 3 -| . 
Durch Multiplikation dieser Reihe mit der vorigen erhält 
man eine absolut konvergente Reihe mit dem Grenzwert ^ r»; 
ö (1 — a;) 85 
ihr Bildungsgesetz ergibt sich durch Zusammenfassung der 
Teilprodukte 
1 -}- 2x -f Sa? 2 -f- 4a? 3 -{-••• ( 
x -f 2x 2 + 3a? 3 -f- • 
folglich ist 
(f_ x y = 1 + 3a? + 6 a; 2 + 10a? 3 + • • •. 
76. Alternierende Reihen. Unter den Reihen mit 
positiven und negativen Gliedern sind-die alternierenden Reihen, 
bei welchen positive und negative Glieder miteinander ah- 
wechseln, besonders bemerkenswert. Für solche Reihen gibt 
es ein in vielen Fällen brauchbares Konvergenzmerkmal, das 
in dem folgenden Satze enthalten ist. 
Wenn in einer alternierenden Reihe die absoluten Beträge 
der Glieder beständig abnehmen und schließlich gegen die Grenze 
Null konvergieren, so ist die Reihe konvergent.