Vierter Abschnitt. Reihen. 
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Es sei a v > 0 für jedes v und 
(22) a 0 — a x -}- a 2 — • • • + (— l) n a n + • • • 
die gegebene Reihe; ferner a 0 > a x > a 2 > • • • und lim a n = 0. 
n— +00 
Aus der Darstellung 
S 2p-\ = ( a 0~ a i) + ( a 2~~ a z) + • • ' + (. a 2p-2~ a 2p-l) 
folgt, daß s 2p _ x als Summe positiver Zahlen mit p wächst, 
daß also die Partialsummen 
(23) s 1} s 3 , s 5 , . . . 
eine steigende Zahlenreihe bilden. 
Aus den beiden Darstellungen 
hp = «o - K ~ «a) - (% ~ iflip-1 - «2p) 
= («0 — a i) + («2 — «3) + • • • + (a 2p _ 2 — a 2p-d + a 2p 
folgt, und zwar aus der ersten, daß s 2p mit p beständig ab 
nimmt, aus der zweiten, daß es immer positiv ist, daß also die 
Partialsummen 
(24) s Q , s 2 , s 4 ,. . . 
sämtlich positiv sind und eine fallende Zahlrenreihe bilden; 
diese muß daher notwendig einen Grenzwert besitzen, der s" 
heißen möge. 
Da aber 
S 2p = S 2p-1 ~b a 2p7 
so ist 
S 2p-1 == S 2p a 2p S 2p^ S 0~ a 0> 
es bleiben also die Zahlen der steigenden Zahlenfolge (23) 
unter einer festen Zahl, somit besitzt auch sie einen Grenz 
wert, er heiße s'. 
Weil jedoch 
S 2 p 5 2i?-l = a 2 pl 
so ist für lim p == 00 
!im (s 2p - s 2p _ 1 ) = lim a 2p = 0, 
also s" = s', d. h. die beiden Zahlenfolgen (23) und (24) kon 
vergieren gegen denselben Grenzwert s, die erste wachsend, die 
zweite abnehmend, so daß bei jedem p 
S 2p~l < S S 2p-