Vierter Abschnitt. Reihen. 
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wert, so ist es auch das Produkt und e* sein Grenzwert; ist 
die Reihe divergent, so ist es auch das Produkt. 
Zur Konvergenz der letztangeschriehenen Reihe ist es aber 
notwendig, daß lim la n = 0 sei; zur Konvergenz des Produktes 
(31) ist es also notwendig, daß lim a n = 1 sei. 
Aus diesem Grunde werden die Faktoren des Produktes 
in der Form 
a v = 1 + a v 
dargestellt, und es ist dann 
lim a n = 0 
(32) 
eine zur Konvergenz notwendige Bedingung, Im übrigen 
können die Zahlen a v entweder durchwegs positiv, oder durch 
wegs negativ oder teils positiv, teils negativ (beides in einer 
unbeschränkten Anzahl von malen), die Faktoren des Produktes 
also sämtlich unechte, sämtlich echte oder teilweise unechte, 
teilweise echte Brüche sein. In dem Falle, wo die cc v durch 
gehende oder zum Teil negativ sind, darf man annehmen, 
daß sie dem Betrage nach unter der Einheit liegen. Denn 
vermöge (32) muß dies, wenn es nicht schon vom Anfang an 
der Fall ist, von einem Werte n -f- 1 des Zeigers angefangen 
notwendig anhalten; dann denke man sich die Faktoren 
a 0 , a 1; ..., a n abgeschieden und erstrecke die Untersuchung 
oo 
blos auf das unendliche Produkt / / a v ; ist dieses konvergent 
n + 1 
und p sein Grenzwert, so ist es auch das ursprüngliche mit 
dem Grenzwerte p n p\ ist es divergent, so gilt dies auch von 
oo 
0 
Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Kon- 
oo 
vergenz eines unendlichen Produktes 
o 
hin aussprechen, daß p n sich der Null nicht beliebig nähern 
dürfe und daß zu einem beliebig klein festgesetzten y\ sich n 
derart bestimmen lasse, daß 
Vn + r-Pn I <V