Vierter Abschnitt. Reihen. 
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für x > 0 sind alle v endlich und stetig, ebenso alle Glieder 
der Reihe, und weil unter dieser Voraussetzung 
lim v n = lim j—rr = 0 
w = + oo * nX-\-l 
ist, so hat die Reihe den von x unabhängigen Grenzwert 
v 0 = 1. Für x = 0 ist lim v n = 1, der Grenzwert der Reihe 
n — +1« 
also 0. Die Reihe definiert demnach in dem Intervalle (0, -f- oo) 
eine im allgemeinen stetige (weil konstante) Funktion, die 
jedoch an der Stelle x = 0 unstetig wird*). 
Um die Art der Konvergenz kennen zu lernen, bilde man 
den Rest 
r n( x ) = ( v n + i~ v n + z) + («Vn-«.+#) + • • •> 
dieser hat für x > 0 den Grenzwert v„ , , = 7—7—r—¡—•: aus 
der Relation 
1 < £ 
(w -|- 1) X + 1 
. • 
folgt n > — 1. Die zu e gehörige Zahl m wächst also, 
indem x sich der Grenze 0 nähert, über jeden Betrag hinaus; 
in der Nähe dieser Stelle hört die Reihe auf gleichmäßig zu 
konvergieren, ist es aber in jedem Intervalle (0, -f 00), dessen 
untere Grenze 0 > 0 ist. 
83. Stetigkeit des Grenzwertes einer gleichmäßig 
konvergenten Reihe. Aus der Stetigkeit der Glieder einer 
konvergenten Reihe von Funktionen der Variablen x kann also 
auf die Stetigkeit der durch die Reihe definierten Funktion 
im allgemeinen nicht geschlossen werden; wenn jedoch die 
Konvergenz als eine gleichmäßige erwiesen ist, dann tritt der 
folgende Satz in Kraft: 
Wenn eine unendliche Reihe, deren Glieder stetige Funk 
tionen von x sind, in dem Intervalle (a, ß) gleichmäßig konver- 
*) In dem Intervalle (— oo, 0) müßten die Werte 
die gegen Null bin immer dichter zusammenrücken, ausgeschlossen wer 
den, weil für jeden solchen Wert eine der Funktionen v und daher zwei 
Glieder der Reihe nicht definiert sind.