Vierter Abschnitt. Reiben. 
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Konvergiert der Quotient 
n + 1 
mit beständig wachsendem n 
gegen eine bestimmte Grenze X (welche auch 0 oder -f °° sein 
kann), so ist die Reihe (9) absolut honvergent für alle Werte 
von x, für welche | x | < X; über ihr Verhalten bei x = — X 
und x = X selbst läßt sich zunächst keine bestimmte Aussage 
machen. 
Man nennt (— X, X) das Konvergenzintervall, X wohl auch 
den Konvergenzradius*). 
Bezeichnet man nämlich die aus den absoluten Werten 
der Glieder von (9) gebildete Reihe 
I % I + | a x x 1 + | a 2 x* | + • • • 
allgemein mit u 0 -f % -f w 2 + • • •, so ist 
*« +1 
u„ 
■n +1 
x 
Hat nun 
besitzt 
"n +i 
1 —— j für lim n = + oo den Grenzwert X, so 
I a n + l I 
den Grenzwert ~ und es ist 
lim 
u 
n +1 
U 
n 
l ’ 
somit ist die Reihe (9) absolut konvergent, wenn | x | < X 
(73, 2); 74); für | x | = X ist aber kein allgemeines Urteil 
möglich, weil dann lim = 1 ist. 
u„ 
*) Diese Bezeicbrung weist auf eine allgemeinere Auffassung der 
Potenzreiben hin, bei der x nicht wie hier als reelle, sondern als kom 
plexe Variable, ic = |-f ir\ (worin |, tj reelle Variable bedeuten) und 
die Koeffizienten auch als komplexe Zahlen vorausgesetzt werden. Bei 
geometrischer Darstellung von x in der Zahlenebene (6) ist dann der 
Bereich derjenigen Werte von x, für welche $(#) konvergiert, durch 
einen Kreis vom Radius l, beschrieben um den Ursprung £ = 0, rj = 0, 
begrenzt, den man den Konvergenzkreis von ^3 (¿c) nennt. Bezüglich der 
Theorie der Potenzreihen in dieser umfassenderen Auffassung ist zu ver 
weisen auf den Artikel „Algebraische Analysis“ von A. Pringslieim- 
G. Faber in Bd. II 3 der Enzykl. der mathem Wissensch., Leipzig 1909, 
p. 1—46, woselbst auch ausführliche Literaturangaben.