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Erster TeiL Differential-Rechnung. 
Hat 
% + 1 
den Grenzwert 4 oo, so besitzt 
*w + 1 
den 
sein mag'. 
Grenzwert 0 ; und welches auch der Wert von | 
es ist immer lim - w + - = 0, die Reihe (9) daher absolut kon 
tra ’ w 
vergent für jeden endlichen Wert von %• man nennt sie dann 
beständig konvergent. 
Konvergiert 
*n + 1 
gegen die Grenze Hüll, so hat 
*n + 1 
a„ 
den Grenzwert 4 oo und denselben Grenzwert besitzt 
v n +1 
für 
jedes | x | > 0; die Reihe ist für keinen Wert von x konver 
gent außer für x = 0 (im uneigentlichen Sinne), weil sie sich 
dann auf ihr Anfangsglied a 0 reduziert; man nennt sie in diesem 
Falle beständig divergent. 
Man hat daher niemals konvergente, beständig konver 
gente und in einem endlichen Intervalle konvergente Potenz 
reihen zu unterscheiden. Ein Beispiel der ersten Art bietet 
die Reihe 
1 + 1 + 1 • 2x 2 + 1 • 2 • 3z 3 4 • • 
weil lim ° n = lim * - = 0; ein Beispiel der zweiten Art 
a n 4-1 n \ 1 
die Reihe 
1 _{_ 4 + JL + _J 
' “ 1 ‘ 1 • 2 ‘ 1 ■ 
2 • 3 
4 
weil lim a>l - — lim (n 4 1) = 4 00 ; ein Beispiel der dritten 
a n +1 
Art die Reihe 
1 2 + 3 ' > 
weil lim —— 
l a n +1 
lim ~~ = 1, so daß (— 1, -fl) das Kon 
vergenzintervall ist; an den Grenzen dieses Intervalls zeigt die 
Reihe ein verschiedenes Verhalten: sie ist für # = 4-1 bedingt 
konvergent (77, 1)), für x = — 1 divergent (73, 1)). 
85. Erster Abelscher Satz über Potenzreihen. In 
die Natur der Konvergenz der Potenzreihen führen die von 
Abel hierüber angestellten Untersuchungen ein, deren Ergebnis 
in zwei Sätzen zusammengefaßt werden kann. Der erste dieser 
Sätze lautet: