Vierter Abschnitt. Reihen. 
209 
Wenn die absoluten Werte der Glieder einer Potenzreihe 
(9) für einen Wert x = X der Variablen insgesamt unter einer 
Grenze x bleiben, so ist die Beihe absolut Jconvergent für jeden 
Wert von x, für welchen ] x | < | X |. 
Nach Voraussetzung ist für jede natürliche Zahl n 
I «„X* I < *, 
folglich 
CL X" 
a,X* 
a;\« 
X 
x « 
X ’ 
d. h. die Glieder der Reihe 
(10) | a 0 | + | a x x \ -f | a 2 x 2 ) + •••; 
sind kleiner als die korrespondierenden Glieder der geometri 
schen Reihe 
X + x 
X 
X 
+ X 
X 
+ 
diese ist konvergent, wenn 
x 
X 
< 1, also wenn \x < X 
dann ist auch die Reihe (10) konvergent (73, 1)) und somit 
die Reihe (9) absolut konvergent (75). 
Aus dieser Vergleichung kann überdies hei bekanntem x 
eine obere Grenze für den Fehler abgeleitet werden, welcher 
begangen wird, wenn man sich bei der Reihe (9) auf die 
Summe der ersten n +1 Glieder beschränkt; es ist nämlich 
a n+1 x n+1 +a n 
t b + 2i 
_j_ 2 w 
-‘\<a n+1 x n+1 
+ 
a n + 2 
X 
n+1 
<* 
x \ n + 1 
. i x 
/i + 2 
X 
z\ 
+ * 1 T 
H— • — 
X ; 
X 
der absolute Betrag dieses Fehlers also kleiner als die zuletzt 
ungeschriebene Größe. 
Aus diesem Satze können die nachstehenden Folgerungen 
gezogen werden. 
1) Ist die Reihe (9) für x = X konvergent, so ist sie 
auch für jeden Wert von x, dessen absoluter Betrag kleiner 
ist als 1 X |, konvergent. 
Denn da sie für x = X konvergiert, so sind für diesen 
Wert alle ihre Glieder endlich, liegen also insgesamt unter 
einer Grenze x. 
Czxiber, Vorlesungen. I. 3. Aufl. 
14