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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
2) Ist die Reihe (9) für x — X divergent, so ist sie es 
auch für jeden Wert von x, der dem Betrage nach größer ist 
als 1 X |. 
Wäre sie nämlich für einen solchen Wert — gegen die 
Behauptung — konvergent, so müßte sie für den Wert X zu 
folge 1) auch konvergent sein — gegen die Voraussetzung. 
3) Gilt bezüglich X die in dem obigen Satze getroffene 
Voraussetzung, so ist die Reihe (9) in jedem Intervall (a, ß), 
dessen Grenzen dem Betrage nach kleiner sind als | X ], gleich 
mäßig konvergent und definiert daher in einem solchen Inter 
valle eine stetige Funktion f{x)*) von x (83). 
Man kann nämlich einen Wert x annehmen, dessen Be 
trag | x | größer ist als | a \ und | ß | (also auch größer als 
die Beträge aller Werte aus (a, ß)) und doch kleiner ist als 
{ X 15 dem Satze zufolge ist die Reihe für diesen Wert absolut 
konvergent, daher kann die natürliche Zahl m so bestimmt 
werden, daß 
I a n+i x ' n+l 1 + 1 a n+ z x ' n + 2 I H < « 
für jedes n m, wobei s eine beliebig klein festgesetzte posi 
tive Zahl bedeutet. Ist nun x ein Wert aus dem Intervall 
(cc, ß) [mit Einschluß der Grenzen], so ist wegen j x | < | x [ 
um so mehr 
| a n+1 x n+1 | + 1 a n+2 x n+2 [+•■•<£] 
und da endlich 
r n {x)\ = \ a n+x xn + 1 +a n+ tX n+2 +'--\^ 0 n +x x n+x + a n+2 x n+2 ) + ••• 
so ist auch, und zwar für jeden Wert aus (a, ß) [mit Ein 
schluß der Grenzen] 
I r n( x ) 1 < 
dadurch ist aber die gleichmäßige Konvergenz erwiesen (81). 
Aus der Stetigkeit der durch die Reihe definierten Funk 
tion ergibt sich der folgende Schluß: Ist x 0 ein Wert von x, 
dessen Betrag kleiner ist als j X |, und konvergiert x gegen 
*) Zum Unterschiede von dem rein formalen Zeichen ^(¿c) für die 
Potenzreihe ohne Rücksicht auf deren Konvergenz oder Divergenz. Mau 
kann aber auch Übereinkommen, unter ^ß(ic) die durch die Reihe, soweit 
sie konvergent ist, definierte Funktion zu verstehen.