4 
Erster Teil. Differential-Rechnung. 
welche der Zahlen 1, 2, 3, . . . man für v setzen mag, und 
somit kann auch dieser Unterschied durch Wahl von n unter 
die Größe e gebracht werden. 
Man hat also in der unbegrenzt fortsetzbaren Folge der 
abgekürzten Dezimalbrüche 
(5) a 0 , a%, . . . 
eine Reihe von Brüchen, welcher folgende Eigenschaften zu 
kommen: 1) Keines ihrer Glieder kommt dem Bruche -- gleich; 
2) man kann n so groß wählen, daß der Unterschied a n + v — a n 
bei jedem v kleiner ausfällt als der beliebig klein festgesetzte 
Bruchteil e der Einheit; 3) der Unterschied ~ — a n kann 
gleichfalls durch entsprechende Wahl von n kleiner gemacht 
werden als ein beliebig klein festgesetztes e. Dieser Sach 
verhalt wird in Kürze dadurch ausgedrückt, daß man die 
Zahlenreihe (5) als konvergent und den Bruch als ihren 
Grenzwert bezeichnet. 
Man kann sich von der Sache noch eine andere Auf 
fassung bilden, wenn man auch die Zahlen a n hinzunimmt, 
welche unter (2) definiert worden sind und aus den Zahlen der 
Reihe (5) dadurch hervorgehen, daß man an jeder derselben 
die niedrigste Stelle um eine Einheit erhöht; diese Zahlen bilden 
gleichfalls eine unbegrenzt fortsetzbare Folge von endlichen 
Dezimalbrüchen 
(5 ) a 0 7 7 ^2 7 ^3 7 • • *7 
welche mit der Reihe (5) analoge Eigenschaften besitzt mit dem 
Unterschiede jedoch, daß alle ihre Glieder größer sind als y • 
Die Zahl scheidet nun die Zahlen der Reihen (5) und 
(5') nach folgenden Gesetzen voneinander: 1) Jede Zahl in (5 r ) 
ist größer als jede Zahl in (5); 2) es lassen sich, wie klein 
auch e sein mag, zwei Zahlen finden, die eine aus (5'), die 
andere aus (5), derart, daß ihr Unterschied kleiner ist als e. 
Diesen Sachverhalt drückt man dadurch aus, daß man sagt, 
die Zahl bringe einen Schnitt*) zwischen den Zahlen der 
*) R. Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen. Braunschweig 
1872, 1892.