Vierter Abschnitt. Reihen. 
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wenn nur 1 x 1 < 1 ß | und x, ß gleich bezeichnet sind; führt 
man sie in (13) ein, so entsteht 
1 a„+i x n+1 +a n+2 x n + 2 4---- + a n+p x n +P [ < e. 
Diese Relation, gütig für jedes p aus der Reihe 1, 2, 3 . . . und 
für jedes x, das mit ß gleichhezeichnet dem absoluten Betrage 
nach kleiner ist als \ ß \, nach der Voraussetzung aber auch 
gütig für x = ß selbst, beweist in der Tat die gleichmäßige 
Konvergenz der Reihe (9) in dem Intervaü (0, ß) bzw. (/3, 0) 
mit Einschluß der Grenzen, und mit Berücksichtigung der an 
die Spitze des Beweises gesteüten Bemerkung findet nun die 
gleichmäßige Konvergenz in dem ganzen Intervaü {a, ß) statt, 
wenn nur 1 cc | < 1 ß . 
Aus diesem Satze ergibt sich folgende wichtige Folgerung: 
Ist fix) der Grenzwert der Reihe (9) auf ihrem Konvergenz 
gebiete (a, ß) mit Einschluß der Grenzen, und nähert sich x 
der Grenze ß durch Werte, welche dem absoluten Betrage nach 
Meiner sind als ß, so nähert sich f(x) vermöge seiner Stetigkeit 
der Grenze f{ß), so daß 
fiß) = a 0 + a t ß -)- a 2 ß 2 + • • •. 
Dieser Schluß dürfte nicht gemacht werden, wenn die Reihe 
(9) für x = ß nicht konvergent wäre, selbst wenn f(x) an der 
Stehe x = ß stetig wäre. 
Zwei Beispiele mögen dies erläutern. Die Reihe 
ist konvergent in dem Intervalle (—1, +1) und auch an der 
oberen Grenze desselben (84); daher ist, wenn f(x) den Grenz 
wert dieser Reihe bezeichnet, soweit sie konvergiert, auch 
Die Reibe 
1 
3 
1 + X -f X 2 + • • • 
hat, solange sie konvergiert, d. i. für | a; | < 1, den Grenzwert 
f(x) = ; derselbe ist auch für x = — 1 stetig und doch 
darf nicht 
l 
¥ 
1-1 + 1