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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
gesetzt werden, weil die definierende Reihe an der Grenze 
x = — 1 nicht mehr konvergiert. 
Die Reihe des ersten Beispiels ist zugleich ein Beleg da 
für, daß man bei einer Potenzreihe, welche gerade und ungerade 
Potenzen von x enthält, aus der Konvergenz für x = ß nicht 
auch auf die Konvergenz für x= — ß schließen darf; bei einer 
Reihe, welche nur gerade oder nur ungerade Potenzen enthält, 
ist dieser Schluß immer zutreffend. 
87. Abgeleitete Reihen. Für jeden Wert von x, für 
welchen die Potenzreihe (9): 
= a 0 + a t x -f a 2 x* -{-••• 
konvergent ist, ist auch die aus den Differentialquotienten der 
einzelnen Glieder gebildete Beihe 
(14) ^'(z) = la 1 -f ‘2a%x- + 3a 3 x 2 -j- • • • 
konvergent. 
Existiert nämlich für die Reihe (9) der Grenzwert 
und heißt er X, so ist diese Reihe konvergent für 
lim 
n = -f 00 
*« + l 
alle Werte- innerhalb des Intervalles (— 2, + 2) (84). Be 
zeichnet man aber die Koeffizienten der Reihe (14) mit A ly 
es hat demnach 
^-2 7 ^2? 
so ist 
A-n 
n 
«« 
^■a + i 
n -{-.1 
a n+1 
A 
denselben Grenzwert wie 
n + 1 
*« + 1 
und die Reihe (14) 
ist demselben Satze zufolge absolut konvergent für die näm 
lichen Werte von x wie (9) 
Hiernach ist also beispielsweise mit der Reihe 
1 -f- X -f x 2 -j- X 3 -(- • • • 
gleichzeitig die Reihe 
1 + 2x + 3x 2 H 
absolut konvergent, solange j x | < 1. 
Unabhängig von der Existenz des Grenzwertes für 
''«-ei 
kann die obige Behauptung auch so erwiesen werden. An 
genommen, für den Wert x — X seien die Glieder von (9) 
dem absoluten Betrage nach unter der positiven Zahl k ge 
legen, also