Vierter Abschnitt. Reihen. 
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für jedes dann ist dem ersten Abelschen Satze gemäß (9) 
absolut konvergent für jedes x, wofür | x [ < | X |. Nun aber 
gilt bezüglich des allgemeinen Gliedes von (14) der Ansatz: 
n 
\X\ X 
infolgedessen, wenn man 
setzt. 
la i + 1 2a%x +[ 3a 3 x^ , + •••< r-^n- (1 + 2# + 3g 2 +•••); 
macht man von der vorhin gemachten Feststellung Gebrauch, 
wonach die rechts stehende Reihe konvergent ist bei q <C 1, 
so folgt daraus, daß auch die Reihe 
| 1 a x | -f | 2a 2 x | + I 3a^x 2 | + • • • 
konvergent und infolgedessen die Reihe (14) absolut konver 
gent ist für alle x, welche dem absoluten Betrage nach kleiner 
sind als | X [. 
Auf Grund von 85, 3) ist die Konvergenz von (14) in 
jedem Intervalle, dessen Grenzen dem Betrage nach kleiner sind 
als | X |, eine gleichmäßige und ist der Grenzwert von (14) 
ebenso wie der von (9) eine stetige Funktion von x. 
An den Grenzen des Konvergenzintervalls darf, selbst wenn 
für diese die Reihe (9) konvergent ist, auf die Konvergenz der 
Reihe (14) nicht geschlossen werden. So ist die Reihe 
auch an den Grenzen —1, -f-1 ihres Konvergenzintervalls und 
zwar absolut konvergent, die aus ihr nach Vorschrift von (14) 
gebildete Reihe 
1 + ® + £! + ... 
1 ' 2 ‘ 3 ‘ 
ist an der unteren Grenze bedingt konvergent, an der oberen 
aber divergent. 
Durch wiederholte Anwendung des an die Spitze dieses 
Artikels gestellten Satzes ergibt sich die folgende Tatsache: