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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Die aus einer Potenzreihe 
(9) SßO») = a 0 + a t x + a 2 x 2 -\ 
durch wiederholte gliedweise Differentiation abgeleiteten Potenz 
reihen: 
= 1 a x + 2a 2 x -f 3%£ 2 ff- • • • 
= 2 • la 2 -f- 3 • 2a 3 x -f 4 • 3a±x 2 -] 
(15) 
$ß w (V) = n(n 
— !)••• 1»«+ 0 + l)w •• • 2a n+1 ar 
+ ( w + 2) (n + 1) • • • 3a n+2 x 2 -J 
sind innerhalb desselben Intervalls konvergent, innerhalb dessen 
die ursprüngliche Beihe konvergiert, und definieren eine unbegrenzte 
Folge in diesem Intervalle stetiger Funktionen.*) 
88. Diffe rentialquotienten einer konvergenten Po 
tenzreihe. Taylorsche Reihe. Die Bedeutung der vor 
stehenden Funktionen wird sich auf Grund des folgenden, für 
die Analysis wichtigen Satzes ergeben: 
Ist f{x) eine durch eine konvergente Potenzreihe definierte 
Funktion, so läßt sich f\x -f- h), sofern auch x -f h dem Kon 
vergenzintervall angehört, durch eine nach h fortschreitende Potenz 
reihe darstellen. 
Es sei also 
(16) f{x) = a 0 -f- a t x + a 2 x 2 H h a n x n -\ 
und die Reihe konvergiere für alle Werte von x, welche dem 
Betrage nach kleiner sind als | X \; sei x ein solcher Wert 
und h so bestimmt, daß 
(17) | h | < | X 1 - 1 x |, 
so daß also | x | -f- | h i und somit auch | x + h | dem Kon 
vergenzintervall angehört; dann gilt auch 
(18) f{x + h) = a 0 + a x (x+h) + a 2 (x-+ h) 2 H j- a n {x + h) n + ■ ■ •. 
In dieser Gleichung werde x als ein fester Wert und h als 
Variable angesehen; dann ist die absolute Konvergenz der 
Reihe (18) für alle Werte von h, welche der Bedingung (17) 
*) Die Zeichen 5ß'(h:), . . . sind nur Symbole für die durch 
gliedweise Differentiation von Sß(ic) entstandenen Potenzreihen.