SR f x \ 
Bezüglich der Darstellung des Quotienten ^ ^ durch eine 
Potenzreihe ist zu bemerken, daß eine solche nur dann mög 
lich ist, wenn (0)4=0, wenn also in i x ) e ^ n von x freies 
Glied vorkommt, und daß sodann das Konvergenzintervall ab 
hängt von dem kleinsten #4=0, für welches ^ß 2 (F) = 0 wird. Ist 
00 00 
0*0 = 2 a * X '’’ ^ 0*0 - ^ b * xV ( & o + °) 
0 0 
und schreibt man den Quotienten in der Form 
%i x )-2 c * xV ’ 
0 
so ergeben sich zur Bestimmung der c v im Sinne von 75 die 
Gleichungen: 
Vr + \ c r-i + h c r-2 d h K c o = a v ( v = °> 1; 2 > ■ • •)• 
§ 8. Die Formeln und Reihen von Taylor und Maclaurin. 
91. Die Taylorsche Formel. Es ist gezeigt worden 
(88), daß eine Funktion f{x), welche als Grenzwert einer kon 
vergenten Potenzreihe definiert ist, für das Argument x + h, 
sofern x sowohl als x + h dem Konvergenzintervalle angehören, 
in eine nach positiven ganzen Potenzen von h fortschreitende 
Reihe entwickelt werden kann; die bezügliche Entwicklung er 
hielt dort den Namen Taylorsche Heike. 
Nun sei f(x) eine beliebige Funktion von x, von der wir 
voraussetzen, daß sie in einem Intervalle {a, ß) eindeutig und 
stetig sei und Diiferentialquotienten bis zur (n — l)-ten Ord 
nung einschließlich zulasse; übrigens hat die Existenz eines 
bestimmten vollständigen Differentialquotienten n — 1-ter Ord 
nung die Stetigkeit aller vorausgehenden und auch der Funktion 
selbst zur Folge. Wir stellen uns die Aufgabe, den Fehler zu 
bestimmen, welcher begangen wird, wenn man für f(x -f- h) die 
auf die ersten n Glieder erstreckte Partialsumme der Tayler 
sehen Reihe (88, (19)), d. i. 
f(n- l)(x) 
— n. —i— nr —t— • • • — 
nimmt: dieser Fehler werde mit 
(n — l) 
bezeichnet. 
h n 
Vierter Absclmitt. Reihen, 
223