Vierter Abschnitt. Reihen.
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:ommt, ist also
3) Bei den meisten Anwendungen ist h eine Größe von
sehr kleinem Betrage, ein nahe an Null liegender echter Bruch,
dessen steigende Potenzen rasch abnehmend der Null sich
nähern; zur näherungsweisen Berechnung von f{x + h) aus
die Taylorsche
Ansehung des
1t haben. Die
ä und Cauchy
p, erstere für
f{x) und den Diiferentialquotienten genügen dann wenige
Glieder von (6). Insbesondere läßt sich erweisen, daß h dem
Betrage nach derart eingeschränkt werden kann, daß das Ver
hältnis des Gliedes, bei welchem die Formel abbricht, zu dem
darauffolgenden Restgliede dem absoluten Betrage nach eine
beliebig große vorgeschriebene positive Zahl K überschreitet.
In der Tat, soll
1 . 2 • • • (n — 1) ^
/■W(aj+0Ä) in
1-2 ■ ■ ■ n 1
ie sich bis auf
rlieder von (6)
sein, so braucht h nur so gewählt zu werden, daß
, „ i /■<"-«(*) j
Sendungen der
tnerkungen im
und dies ist sicher erreicht, wenn man
1 h 1 < WK 1 1
md h an gesetzt
hl als x-\-h in
ndlich ist und
i Ordnung ein-
, so sagt man,
i innerhalb ge-
nimmt, wobei G den größten Wert bezeichnet, welchen
| f( n \x + 6h) | in dem Intervalle (a, ß) erlangt.
92. Die Taylorsche Reihe. Die Funktion f{x) sei nun
solcher Art, daß sie in dem Intervalle (cc, ß) endlich bleibend
vollständige Differentialquotienten aller Ordnungen besitzt. Die
unendliche Reihe
m + ~ lh + i P§ ¥ +---
werden, wenn
zu diesem Ord-
uziert sich die
hat dann vermöge der Gleichung (6) den Grenzwert
f(x-\- h) — hm R n ,
n~+co
d. h. sie hat nur dann einen bestimmten Grenzwert und ist
itz (38, (2)).
somit konvergent, wenn lim R a eine bestimmte Größe A he-
n= +00
deutet, und zwar ist ihr Grenzwert dann f(x -(- h) — Aj er ist
insbesondere f\x + h) selbst, wenn A = 0, d. h. wenn
(9) lim B n = 0.
»= +00
wenn