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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Dann also ist 
(10) f(x + h)~ f(x) + ßÖ*+ h‘ +■■■ 
die Funktion f(x) also ebenso wie der Grenzwert einer nach 
x fortschreitenden Potenzreihe in die Taylorsche Reihe ent 
wickelbar. 
Die eindeutige Funktion fix -|- h) ist durch die Taylorsche Reihe 
o 
darstellbar, wenn die Funktion f{x) in dem Intervall (x, x -f li) 
endlich bleibt, vollständige bestimmte Differentialquotienten jeder 
beliebigen Ordnung daselbst besitzt und wenn das Restglied R n , 
in einer der unter (5), (7), (8) angegebenen Formen geschrieben, 
für lim n = oo gegen die Grenze Null konvergiert.*) 
Die Untersuchung des Restgliedes gestaltet sich am ein 
fachsten bei Funktionen, für welche f^> {z) bei jedem n eine 
endliche Größe, wenigstens in dem Intervalle (x, x + h), be 
deutet; denn alsdann hängt es laut (7) nur von dem Ausdruck 
l • 2 • ■ • n 
ab, ob R n für lim n = + oo den Grenzwert Null hat; dieser 
Ausdruck konvergiert aber für jedes endliche h gegen die Grenze 
Null, somit auch R n . Schreibt man nämlich das unendliche 
Produkt, in welches der Ausdruck bei dem Grenzübergange 
sich verwandelt, in der Form (1 — af) (1 — ccf) (1 — a 3 ) ..., d. i. 
so ist cc lt > 0, sobald n > h, und die Reihe 
n ' n -)— 1 n -(-2 
divergiert, weil 
- _L 1 t 4- . . . 
n ' n-\-1 n-\- 2 
*) Die angeführten Bedingungen reichen zur Gültigkeit des Ansatzes 
hin. Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen, die also den 
ganzen Umfang der Funktionen kennzeichnen, welche eine solche Ent 
wicklung gestatten, hat A. Pringsheim festgestellt. Ygl. Mathem. 
Annalen, Bd. 44 (1894).