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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
gegebenem Exponenten die Basis verlangt, eine neue Rechnungs- 
Operation, das Radizieren oder Wurzelziehen. Die gegebene 
Potenz, der Radikand, werde als positive rationale, der Ex 
ponent, Wurzelexponent genannt, als positive ganze Zahl voraus 
gesetzt. Die Arithmetik weist nach, daß diese Aufgabe nur 
dann im System der rationalen Zahlen eine Lösung findet, wenn 
der Radikand eine Potenz zum Wurzelexponenten ist. Um sie 
auch im anderen Falle lösbar zu machen, ist die Schaffung 
neuer Zahlen notwendig. Der hierzu führende Gedankengang 
läßt sich an das Verfahren anknüpfen, welches die Arithmetik 
zur Ausziehung der Quadrat- oder der Kubikwurzel aus einer 
Zahl angibt. 
Es handle sich um ]/A, wobei A eine positive rationale 
Zahl bedeutet, die keine Quadratzahl ist. Die Arithmetik lehrt 
einen Rechenprozeß, durch welchen eine Folge abgekürzter 
Dezimalbrüche 
(6) $Q, ttj, a 2 , ... 
mit 0,1, 2, . . . Dezimalstellen gefunden wird, deren Quadrate 
sämtlich kleiner sind als A, so daß für jedes n 
a n< A \ 
erhöht man dagegen jede der Zahlen (6) um eine Einheit ihrer 
niedrigsten Stelle und setzt 
( 7 ) a n + = a ‘n> 
so entsteht eine zweite Folge abgekürzter Dezimalbrüche 
(6') <, <, af, . . . 
mit höchstens 0, 1, 2, ... Dezimalstellen, deren Quadrate sämt 
lich größer sind als die Zahl A, so daß für jedes n 
a n*> A - 
Der Rechenprozeß, der zu den beiden Folgen (6) und (6') 
führt, ist ein unbegrenzt fortsetzbarer; denn er könnte nur 
dann schließen, wenn das Quadrat einer der Zahlen (6) oder 
(6') gleich würde der Zahl A, was jedoch der Voraussetzung 
widerspricht. Er unterscheidet sich aber von dem in 2 be 
sprochenen Prozesse wesentlich dadurch, daß, wo man ihn 
auch abbricht, über seinen weiteren Ablauf ohne Fortsetzung 
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