Vierter Abschnitt. Reihen. 
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biete der reellen Zahlen stetige Funktionen, deren Werte in 
dem Intervalle (—1, +1) liegen; infolgedessen lassen sie sich 
(92) in beständig konvergente Potenzreihen entwickeln. 
sin (x -f n geht für x = 0 in sin n -y- über, und dies 
ist nur dreier verschiedenen Werte fähig, nämlich; 
für n = 2p ist sin n 2=0 
„ n = 4- 1 „ sin n — = + 1 
1 
„ + 3 „ sin n 2 = 
infolgedessen ist 
CC X^ X 5 
(22) 
sm x = 
1-2-3 
+ 
1 • 2 • 3 ■ 4 • 5 
Die Reihe ist für positive wie für negative Werte von x 
alternierend, daher (76) 
sin X \ < j X |, | sin X | > 
— , | sin X | < 1 x — 
6~ + 120 : 7 ' ■ ■ 
Bricht man sie bei dem Grliede 
R, 
(- l)*" 1 
lestglh 
iinjöaj + ßp-f 1)-|-J 
2 p — 1 
1 . 2 ... (2p — 1) 
ab, so kann dem Restgliede die Form 
'2p + l 
!p + 1 — 
(— iTärr: 
cos 6x 
x 2p+ ' 
1.2..-(2p-fl) ~ v 1*2. --(2p -fl) 
gegeben werden, weil sin -f 2p -f 1 = (— 1)? cos a. 
cos {x -f n j geht für x = 0 in cos n ~ über und dies 
ist wieder dreier verschiedenen Werte fähig, indem 
für n = 2p -f 1 cos n = 0 
„ n = 4 q cos w|-= f 1 
„ n = 4 q -f 2 cos n| = - 1 
ist; demnach gilt für jedes x der Ansatz: 
(23) eos^l-fi +TT ff i —..