Vierter Abschnitt. Reihen. 
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lim B n = 0. Bei negativem x, sobald dessen absoluter Wert 
= -f- o° 
1 
i _j_ ö überschreitet, versagt die Formel. Schreibt man dann 
die zweite Formel, —- | x \ für x setzend, in der Gestalt 
so zeigt sich, da für | x | < 1 der eingeklammerte Bruch wieder 
echt ist, daß auch jetzt lim B n = 0. 
Die Gleichung (24) besteht also zurecht, solange 
— 1 < x <1 -f 1 
und gibt auch an der oberen Grenze den entsprechenden Wert 
der Funktion (86), nämlich 
Für positive x ist die Reihe in (24) alternierend und hat Rh- 
negative Werte durchwegs negative Glieder; vermöge ihres 
Geltungsbereiches läßt sie nur die Berechnung der natürlichen 
Logarithmen aller Zahlen aus dem Intervall (0, 2) zu. Aus 
diesem Grunde und wegen ihrer schwachen Konvergenz ist sie 
zur Berechnung der Logarithmen nicht unmittelbar geeignet. 
Um zu einer Reihe zu gelangen, welche die Berechnung 
der Logarithmen aller Zahlen gestattet, verbinde man die bei 
den Gleichungen 
durch Subtraktion; dadurch entsteht (71, 2)): 
• 1 1 oc • • 
und hier kann bei 0 < x < 1 jede noch so große die 
Einheit übertreifende Zahl, bei — 1 < x < 0 jeden positiven 
echten Bruch vorstellen. Setzt man 
1 + x a-\- z 
1 — x a 
so wird 
z 
X 2 a+z