Erster Abschnitt. Variable und Funktionen. 7
der Rechnung nichts ausgesagt werden kann; periodische Wieder
holung einer Stellengruppe kann nicht eintreten, weil eine
solche, wie die Arithmetik nachweist, nur bei der Verwandlung
einer rationalen Zahl sich einstellen kann. Es ist daher un
möglich, den unbegrenzt fortsetzharen oder unendlichen Dezi
malbruch, welcher durch den obigen Rechenprozeß definiert
ist, mittels einer beschränkten Anzahl von Zahlzeichen er
schöpfend darzustellen.
Die Zahlenreihen (6) und (6') haben analoge Eigenschaften
wie die Zahlenreihen (5) und (5') in 2. Weil a n sich von a' n
vermöge (7) um unterscheidet und jede später folgende
Zahl a n + r zwischen a n und a n fällt, so ist für jedes v
(8) a n + v a n ^
und kann dies durch Wahl von n kleiner gemacht werden als
die beliebig kleine festgesetzte positive Zahl e. Jede Zahl in
(6') ist größer als jede Zahl in (6); wie klein aber auch e
angenommen wird, es lassen sich auf Grund von (7) immer
zwei Zahlen, je eine aus den Reihen (6) und (6'), derart aus
wählen, daß ihr Unterschied kleiner ist als e.
Die durch das Zeichen j/ÄT vorgestellte Aufgabe bewirkt
also eine Scheidung der rationalen Zahlen a n und a n , oder sie
führt einen Schnitt zwischen den Zahlenreihen (6) und (6')
herbei, und diesem Schnitt ordnet man die Lösung der obigen
Aufgabe zu, nennt diese Lösung eine Zahl, jedoch zum Unter
schiede von den rationalen Zahlen eine irrationale Zahl.
In allgemeiner Fassung kann gesagt werden: Lassen sich
auf Grund einer arithmetischen oder algebraischen Forderung,
der durch eine rationale Zahl nicht entsprochen werden kann,
die rationalen Zahlen überhaupt oder die eines Intervalls nach
einem aus der Forderung entspringenden Prinzip in zwei
Klassen V' derart zerlegen, daß jede Zahl einer Klasse an
gehört und daß jede Zahl der Klasse ® kleiner ist als jede
Zahl der Klasse so sagt man, durch die Forderung sei ein
Schnitt bestimmt, ordnet ihm eine Zahl zu, die man als irra
tional bezeichnet und von der man erklärt, daß sie die For
derung erfülle.
