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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
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Die Differenz der beiden Summen mit — multipliziert gibt die 
Zahl 1,414213556, deren letzte Stelle um weniger als zwei 
Einheiten zu klein ist, so daß ]/2 notwendig zwischen 
1,414213556 und 1,414213558 liegt-, auf acht Stellen ab 
gekürzt ist also 
]/2 = 1,41421356. 
99. Zyklo metrische Reihen. 1) Die Funktion 
f(x) = arc tg x 
und ihr n-ter Differentialquotient (41, (10)) 
f( n \x) = 
(— l) n ~ 1 1 • 2 . . . (n— 1) 
2 i 
1 
.(* — 
1 
{x + i) 
sind auf dem ganzen Gebiete der reellen Zahlen stetig und 
insbesondere ist (33, 3)) 
m = o, 
daher 
/*•)(0) == 
(— l) w_1 1 • 2 ... (n — 1) 
fP*»(0) = 0, 
0) - 1 ' a i -: (4ä) ■ = 1 • 2... (4s) 
/^9+»)(0) = 1 ‘ 2 . 1. = _ i . 2 . . . (4g + 2). 
Setzt man die aus diesen allgemeinen Formeln für f\0), 
/"(0), .. . sich ergebenden Werte in die Maclaurinsche Reihe 
ein, so ergibt sich: 
(32) 
0C CC° 'TC'* 
arc tg x = Y + T » 
vorbehaltlich der erst zu erweisenden Konvergenz des Rest 
gliedes gegen die Grenze Null. Dieses Restglied hat zufolge 
93, (13) den allgemeinen Ausdruck: 
_ (_ i)”~V / i l \ . 
n 2ni \(ßx — i) n {dx + if) 5 
trennt man in 
l 
(ßx — i) n 
das Reelle von dem Imaginären, so sei 
1 
{ßx - - if 
u + vi,