Vierter Abschnitt. Reihen. 
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dann ist notwendig 
und hiermit 
der gemeinsame absolute Wert von 6x — i und 6x + i ist 
Wo 2 x 2 -j- 1 |, daher der gemeinsame absolute Wert von u-\-vi 
& (1 |/0 2 ic 2 -(-l 
]/m 2 -f- v 2 !, woraus folgt, daß 
und 
Ist nun x 2< C 1, so ist der Bruch echt und es konver- 
giert die rechtsstehende Größe mit beständig wachsendem n 
gegen den Grenzwert Null; daher ist auch 
lim H n = 0. 
Für x 2 > 1 ist die Untersuchung überflüssig, weil dann die 
Reihe in (32) aufhört konvergent zu sein. 
Der Bereich, auf welchem der Ansatz (32) Geltung hat, 
ist also durch 
— 1 x + 1 
(33) 
gekennzeichnet. 
Für x= \ ergibt sich die Leibniz zugeschriebene Reihe*) 
welche jedoch zur wirklichen Berechnung eines genaueren 
Näherungswertes von n wegen ihrer außerordentlich langsamen 
Konvergenz nicht geeignet ist. Für diesen Zweck empfiehlt 
*) 1673 gefunden und in den Acta eruditorum für 1682 veröffent 
licht. Yor ihm schon (1671) hatte sie wie auch die Reihe (32) J. Gregory 
aufgestellt.