Vierter Abschnitt. Reihen. 
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Durch Einsetzung dieser Werte in die supponierte Reihe ergibt 
sich die verlangte Entwicklung: 
,OCN • X i X S 1 • B X 5 
(3a) arc s« = - + - • 3 + ¥ i + ■ • •, 
welche gleichfalls Geltung hat, solange — 1 < x < + 1; sie 
gilt auch noch für x = — 1 und x = -f- 1, weil sie auch für 
diese Werte konvergiert. Auch sie kann zur Berechnung von 
% verwendet werden (mit x — — z. B. gibt sie für —, mit 
x = 1 für y eine konvergente Reihe), ist aber hierzu weniger 
geeignet als (32). 
100. D ie Formeln von Taylor und Maclaurin für 
Funktionen mehrerer Variablen. Zum Schlüsse dieses 
Paragraphen möge die Aufgabe, welche die Taylor sehe Formel 
für Funktionen einer Variablen löst, für Funktionen mehrerer 
Variablen gestellt und gelöst werden: Ist nämlich f(x, y, . . .) 
eine Funktion mehrerer unabhängigen Variablen, so soll 
f{x + h, y 4* h, • • •) in eine nach positiven Potenzen und Pro 
dukten solcher Potenzen von h, 1t, . . . fortschreitende Reihe 
entwickelt werden, sofern eine solche Entwicklung überhaupt 
möglich ist. 
Es genügt, die Untersuchung für eine Funktion zweier 
Variablen, f(x,y), zu führen, weil die Ausdehnung auf mehr 
als zwei Variable aus dem Gange derselben unmittelbar sich 
ergibt. 
Mg. 18. 
Der Wertverbindung x/y, von welcher ausgegangen wird 
und die dem Gebiete P angehören muß, auf welchem die Funk 
tion gegeben ist, entspreche der 
Punkt M (Fig. 18), der Wertver 
bindung x-\-h/y-\-h der Punkt M 1 ; 
verfolgt man die Funktion längs 
der Geraden, welche M und M x 
verbindet, so verhält sie sich wie 
eine Punktion einer Variablen. 
Sind nämlich (p, ip die Richtungs 
winkel von Äf($) (47); s der von 
einem festen Punkte M ü mit den Koordinaten x 0 /y 0 gemessene 
Abstand M Q M, welcher positiv oder negativ gezählt wird, je