Yiei’ter Abschnitt. Reihen. 
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Stellt man die Wertverbindung x/y durch einen Punkt im 
rechtwinkligen Koordinatensystem O(XT) dar, so kann dieser 
auch als Darstellung der komplexen Variablen ¿ angesehen 
werden; in diesem Sinne soll die Ebene O(XY) als ¿-Ebene 
bezeichnet werden. Der Bereich P, welcher der Verbindung 
xjy zugewiesen wird, ist zugleich der Bereich von ¿. 
Führt man mit z und etwaigen, reellen oder komplexen, 
Konstanten einen bestimmten (algebraischen) Rechnungsprozeß 
aus, so ist das Resultat w desselben, eine Funktion von z, 
darstellbar in der Form einer komplexen Größe u -f- vi, worin 
u, v reelle Funktionen von x, y bedeuten; wir schreiben dies 
in der Form an: 
w = f(z) = u + vi. 
Aber nicht jeder aus zwei Funktionen u, v von x, y ge 
bildete Ausdruck u + vi soll als Funktion von x -\- yi gelten; 
vielmehr soll dies nur unter einer sogleich zu entwickelnden Be 
dingung stattfinden. Vorher sei noch bemerkt, daß die Stetig 
keit von f(z) in derselben Weise erklärt wird wie bei einer 
Funktion einer reellen Variablen, wobei man den absoluten 
Wert einer komplexen Zahl in dem in 6 angegebenen Sinne 
zu verstehen hat. Insbesondere ist leicht zu zeigen, daß f(z) 
stetig ist, sobald es u und v sind, was wir denn auch für den 
ganzen Bereich P voraussetzen wollen. Überdies nehmen wir 
an, daß u, v daselbst auch stetige partielle Differentialquotienten 
nach x und y besitzen. 
Als Funktion von x, y aufgefaßt, hat f(z) = u + vi unter 
den gemachten Voraussetzungen in der durch die Winkel cp, cp 
gekennzeichneten Richtung den totalen Differentialquotienten 
in bezug auf z also, weil dz = ds (cos cp + i cos cp), den Diffe 
rential quotien ten : 
div 
dz 
cos cp -f- i cos cp 
soll dieser unabhängig sein von der Richtung, nach welcher man 
sich in der ¿-Ebene von dem Punkte x/y aus bewegt, mit