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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
andern Worten: soll f(z) als Funktion von z an der betrach 
teten Stelle geradeso wie eine Funktion einer reellen Variablen 
nur einen bestimmten Differentialquotienten haben, so muß: 
i 
1 
sein; denn alsdann ist 
äw du , .dv , dv .du 
v ' dz 0 x o x dy d y 
frei von cp, if-, die obige Bedingung führt aber zu den Glei 
chungen; 
du 
d x 
du 
dv 
dy’ 
dv 
d x 
(2) 
dy 
Eine stetige Funktion w = u -j- vi, in welcher u, v den 
Bedingungen (2) entsprechen, heißt eine analytische Funktion, 
und nur eine solche wird als eine Funktion der komplexen 
Variablen x + yi betrachtet. Die Gleichungen (2) heißen die 
Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. 
Besitzen die Funktionen u, v auch stetige Differential 
quotienten zweiter Ordnung*), so folgt aus (2); 
d“u d 2 v 
dx~ dydx 
d 2 u d 2 v 
dy 2 dxdy 
und hieraus nach 52 
(3) + = 
^ ' dx 2 dy 2 ’ 
und eine analoge Gleichung ergibt sich für v. Diese Gleichung, 
die Laplacesche Differentialgleichung genannt, ist grundlegend 
für die Theorie der analytischen Funktionen. Man nennt Funk 
tionen, die ihr genügen, harmonische Funktionen, und ein 
Funktionenpaar, das den Gleichungen (2) genügt, bezeichnet 
man als ein Paar konjugierter Funktionen; ein solches ist also 
zur Bildung einer analytischen Funktion geeignet. 
*) Eine weitere Ausführung dieser Theorie zeigt, daß dies eine 
notwendige Folge der Existenz und Stetigkeit der ersten Differential 
quotienten ist.