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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Man erörtere jene Zerlegung der ¿r-Ebene, die einer Zer 
legung der w-Ebene in Quadrate durch Parallele zu den Achsen 
entspricht. 
Im folgenden werden die elementaren Funktionen einer 
komplexen Variablen einer kurzen Erörterung unterzogen. 
103. Die Potenz. Moivres Binomialformel für ganze 
Exponenten. Es gelte als Grundsatz, daß die Potenz einer 
komplexen Zahl begrifflich ebenso aufzufassen sei wie die 
Potenz einer reellen Zahl; wenn also n eine natürliche Zahl 
bedeutet, so sei auch bei komplexem z 
z n = z • z . . . (M-mal), #~ n =4r> z°=\. 
Es sei nun 
(1) z = x -f- iy = r(cos cp -J- i sin cp)- 
dann ist 
> 2 = r (cos cp -f- i sin cp) • r (cos cp i sin Cp) 
= r 2 [cos 2 cp — sin 2 cp -f- 2i sin cp cos cp] 
== r 2 (cos 2cp + i sin 2cp), 
£ 3 = r 2 (cos 2 cp + i sin 2 cp) r(cos cp + i sin cp) 
= r 3 [cos 2 cp cos cp — sin 2 sin cp -f i (sin 2 cp cos cp -f cos 2 cp sin qp) | 
= r 3 (cos 3 cp -f i sin 3 cp); 
die Allgemeingültigkeit von 
(2) z n = r"(cos ncp -f i sin ncp) 
ergibt sich daraus, daß die Hinzufügung eines weiteren Faktors 
z = r (cos cp -|- i sin cp) für z n+1 dasselbe Bildungsgesetz liefert. 
Aus der Beziehung 
, ——\ . .—r = — (cos cp — i sin cp) = — [cos (— cp) 4- i sin (— qp)1 
r(COS<p -f- isinqp) r \ T -r/ r l v. 'rJ I V T/J 
ergibt sich 
j z~ n = r~ n (cos (—ncp) + i sin (— ncp)) 
^ 1 = r~ n (cos ncp — i sin ncp). 
Da r~ n , cos ncp, sin ncp einwertige Größen darstellen, so 
sind die positive und die negative ganze Potenz einer komplexen 
Variablen einwertige Funktionen derselben.