Vierter Abschnitt. Reihen. 
259 
Vergleicht man die Formeln (2), (3) mit den aus (1) 
unmittelbar hervorgehenden 
z n = T n (cos cp + i sin cp) tl , (cos cp + i sin cp)~ n , 
so ergibt sieb 
(4) (cos cp + i sin (p)- n = cos (+ nep) + i sin (+ nep), 
die Moiyrescbe JBinomialformel*), zunächst gültig für jedes 
ganze n. 
104. Die Wurzel. Moivresche Binomialformel für 
rationale Exponenten. Die n-ic Wurzel aus einer kom 
plexen Zahl werde begrifflich ebenso aufgefaßt wie die Wurzel 
aus einer reellen Zahl; es sei also auch bei komplexem z und 
ganzem positiven n 
n !— 
y Z = IV 
nur dann, wenn 
w n = z.' 
Setzt man w = u iv = R (cos + i sin CE>), so führt dies 
vermöge des vorigen Artikels zu der Beziehung: 
R n (cos sin nO) = r (cos cp -f- i sin cp), 
welcher nur auf die eine Weise genügt werden kann, daß 
R n = r, 
nO = cp 
gesetzt wird, wobei x jede positive wie negative ganze Zahl 
einschließlich der Null bedeuten darf. Hieraus ergibt sich 
-n \ n /~ \ ^ cp 4- 2 k Tt 
R — 1 yr , $ = : 
■ 17 n ’ 
daher ist 
n n ;—•— 1 \ I n /~ i / cp-)-2xjr , . . cp —I— 2 v. 7t\ 
(5) y z =yr [cos cp-\-tsm cp) = yr i cos—— 1- 
Der anscheinend unendlich vieldeutige Ausdruck auf der rechten 
Seite nimmt in Wirklichkeit nur n verschiedene Werte an, die 
man erhält, wenn man der Reihe nach 
(6) *-0, 1,2,...(»-1) 
setzt. Die Verschiedenheit der aus diesen Substitutionen her 
vorgehenden Werte folgt daraus, daß die zugehörigen Werte 
von a ^ V ' 7C sämtlich in dem Intervalle (0, 2jt) liegen und 
*) Abraham de Moivre, Miscellanea analytica, London 1730. 
17*