Vierter Abschnitt. Reihen. 
263 
Fig. 20. 
Y 
wegen der Periodizität der trigonometrischen Funktionen mit 
der Periode 2jt nicht; folglich ist 
gi(y + 2jut) _ 
und 
(14) e z+2x7ti = e z . 
Die natürliche Potenz e* ist demnach eine eindeutige periodische 
Funktion von z und 2 ni der Modul der Periode (32). Ist z 
rein imaginär = iy, so ist vermöge (12) der Modul von e iy 
bei jedem Werte von y die Einheit; ist z komplex = x -f- iy, 
so ist der Modul von e z auf Grund von (13) F. 
Wegen der Periodizität von e z genügt es, um alle Werte 
der Funktion, deren sie fähig ist, zu erhalten, z ein Gebiet 
zuzuordnen, das dem x das Intervall 
(— oo, + °°), dem y das Intervall (0, 2it) 
zuweist, also einen Streifen der Ebene, 
welcher von der x-Achse und einer zu 
ihr parallelen Geraden im Abstande 2jt 
begrenzt wird (Fig. 20). Zerlegt man die 
ganze Ebene in Streifen dieser Breite, so 
Ö ^ 
wiederholen sich die Werte von e z , welche 
aus dem erstgenannten Streifen entspringen, in jedem anderen 
derart, daß e z ' = e z , wenn zz | YY', zz' = 2jt oder ein positives 
oder negatives Vielfaches hiervon ist. Die Ebene XOY ist 
daher unendlich vielfach auf die Ebene UOVabgebildet (102). 
Verbindet man die Gleichung (12) oder 
d x = cos x + i sin x 
mit der aus ihr durch Zeichenänderung des x hervorgehenden 
e~ ix = cos x — i sin x 
durch Addition und Subtraktion, so ergeben sich die ebenfalls 
von Euler aufgestellten Formeln: 
'ixi 
2Jli 
Z’ 
0 
cos x = 
sin x = 
: +e- 
2 
2 i 
106. Der natürliche Logarithmus. Unter dem natür 
lichen Logarithmus der komplexen Variablen z = x + iy