Vierter Abschnitt. Reihen. 
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setzt man nun einmal sin w = #, ein zweitesmal cos w = z, so 
ergibt sich im ersten Falle 
Are sin z = -4-1 (]/l — # 2 + iz); 
im zweiten Palle 
Are cos z = -41 (# + i ]/l — # 2 ), 
die Wurzel beidemal als zweideutige Größe aufgefaßt. Die 
Ausführung dieser Formeln in den Variablen x, y soll unter 
bleiben. Nur einige Bemerkungen mögen noch angefügt wer 
den. Ist z reell und dem Betrage nach kleiner als 1, so ist 
auch ]/1—# 2 reell und der Modul von ]/l — z 2j riz, ebenso 
wie der von z + i ]/l — # 2 gleich 1; infolgedessen entfällt ver 
möge 106, (16) der logarithmische Teil und es bleibt ein reeller 
Bogen bestehen. Wenn hingegen z reell und dem Betrage 
nach größer als 1 ist, dann ist yT— z 2 imaginär und der 
Modul von Y1 — z 2 + iz gleich | z + ]/'z 2 — 1 |, jener von 
z + i y \ — z 2 = z — yz 2 — 1 gleich z — j/'z 2 — 1 ; man hat also 
auf Grund von 106, (16): 
Are sin z — \ l z -f-yz 2 — 1| + y + 2^jt 
Arccos# = 4 l'Z — yz 2 — 1 + 
Aus diesen Darlegungen ergibt sich die für reelle z, welche 
absolut genommen kleiner sind als 1, aus den Elementen schon 
bekannte Formel: 
Are sin# + Are cos# = -*■ + 2kji. 
Hervorgehoben seien zum Schluß die nahen Beziehungen, 
die sich durch Heranziehung der komplexen Variablen zwischen 
den trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion 
einerseits, den zyklometrischen Funktionen und dem Logarith 
mus andererseits aufgetan haben und die sich durch die ganze 
Analysis hindurch verfolgen lassen. 
§ 5. Die unbestimmten Formen. 
109. Die Form - • Wenn eine Funktion f{x) der stetigen 
Variablen x für ein Intervall (a, /3) eindeutig definiert und in 
diesem Intervall stetig ist, mit Ausnahme einer einzigen Stelle