288 Erster Teil. Differential-Bechnung. 
für alle Werte von Ji, welche der Bedingung 
\h\<r¡ 
genügen, mit alleiniger Ausnahme von h = 0 .*) 
Die zulässige Größe der Umgebung, also der äußerste 
Wert von r¡, wird davon abhängen, wie häufig f(x) in (a, ß) 
zwischen Wachstum und Abnahme wechselt; es darf aber für 
den Zweck der Untersuchung rj unter diesem äußersten Werte 
bleiben und beliebig klein angenommen werden. 
Die Begriffe des Maximums und Minimums beziehen sich 
also nicht auf die Gesamtheit der Werte der Funktion, sondern 
immer nur auf die Werte einer beliebig engen Umgebung. 
Eine Funktion kann in dem ihr zugewiesenen Intervalle meh 
rere oder selbst unbegrenzt viele Extreme erlangen und unter 
ihren verschiedenen Maximis kann es ein größtes, ebenso unter 
ihren Minimis ein kleinstes geben; erst die Vergleichung dieser 
mit den Werten f{cc), f\ß), welche die Funktion an den Grenzen 
des Intervalls besitzt, kann die Frage nach dem größten und 
kleinsten Wert der Funktion im Intervall (a, ß) zur Entschei 
dung bringen.**) 
115. Notwendige Bedingung für ein Extrem bei 
stetigem Verlauf des ersten Differentialquotienten. 
Der Übergang vom Wachsen zum Abnehmen oder umgekehrt 
kann in verschiedener Weise vor sich gehen. Wir stellen den 
wichtigsten, die Regel bildenden Pall an die Spitze und setzen 
voraus, die Funktion f(x) besitze an jeder Stelle innerhalb («, ß) 
einen Differentialquotienten im eigentlichen Sinne oder einen 
vollständigen Differentialquotienten (20). Unter dieser Voraus 
setzung läßt sich der Satz erweisen, daß an einer Stelle, an 
*) Nach einer von 0. Stolz (Grundzüge der Differential- und Inte 
gralrechnung, Leipzig 1893) getroffenen Unterscheidung bezeichnet man 
die so definierten Extremwerte als eigentliches Maximum und Minimum 
und spricht von einem uneigentlichen Extrem, wenn bei noch so kleinem 
r\ Stellen a -f- h existieren, an denen f(a -J- li) — f{a) ist. Hier soll von 
dieser ausnahmsweisen Erscheinung abgesehen werden. 
**) Man bezeichnet wohl auch die in obigem Sinne definierten Ex 
treme als relative Maxima und Minima zum Unterschiede von den abso 
luten, die sich auf das ganze Intervall (a, ß) beziehen.