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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
die positive dem Zeichen l/i? entsprechende reelle Zahl heiße /3; 
Y~- 1 dagegen führt man als eine neue Recheneinheit mit dem 
Zeichen*) i ein, der mit dieser Einführung die wesentliche 
Eigenschaft 
(9) i 2 =- 1 
erteilt wird, nennt sie die imaginäre Einheit und ßi eine 
imaginäre Zahl. 
Die additive Verbindung einer reellen Zahl a mit der 
imaginären Zahl ßi, also a -f ßi, heißt eine komplexe Zahl. 
Die Arithmetik lehrt, wie die für die reellen Zahlen geltenden 
Rechengesetze auf die komplexen Zahlen auszudehnen sind; 
dabei kommt die in (9) ausgesprochene Grundeigenschaft der 
imaginären Einheit als neues Rechengesetz hinzu. 
Zur Bestimmung einer komplexen Zahl sind zwei reelle 
Zahlen a, ß erforderlich. Würde man diese auf die in 5 er 
örterte Weise in einer oder in zwei geraden Linien darstellen, 
so hätte jede komplexe Zahl ein Punktepaar zum geometrischen 
Bilde. Man kann jedoch, wenn mau sich statt der Geraden 
der Ebene bedient, jeder komplexen Zahl einen Punkt zu 
ordnen, jenen Punkt nämlich, welcher in bezug auf ein in der 
Ebene angenommenes rechtwinkliges Koordinatensystem Ö(X7) 
a zur Abszisse, ß zur Ordinate hat. Es kommt dies im Grunde 
auf die bereits eingeführte geometrische Darstellung reeller 
Zahlen wieder zurück. Wenn man nämlich eine Strecke als 
natürliche Einheit, den Ursprung 0 als gemeinsamen Nullpunkt 
und in jeder der Koordinatenachsen einen Halbstrahl als positiv 
festsetzt, so gehört zu der Zahl a ein bestimmter Punkt der 
Abszissenachse, zu ß ein bestimmter Punkt der Ordinatenachse 
und beide Punkte führen durch eine eindeutige Konstruktion 
zu einem Punkte M der Ebene. 
Der Abstand dieses Punktes vom Nullpunkt mit der Ein 
heitsstrecke gemessen gibt die positive reelle Zahlr= ]/a 2 + ß 2 
CC ß . 
und die Quotienten —, - sind der Kosinus und Sinus jenes 
Winkels, um welchen der Strahl OX gegen oder über 0 Y 
gedreht werden muß, um mit OM zur Koinzidenz zu kommen. 
*) Yon L. Euler (1794) stammend. 
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